Problème 14 . — Étant donnés huit points

d'une courbe gauche du quatrième ordre, construire ses traces sur un plan quelconque .

Considérons une surface auxiliaire du second ordre S définie par les huit points donnés et un neuvième point x pris arbitrairement sur le plan H :

et soient, sur cette surface Ct, C', les deux courbes gauches du quatrième ordre respectivement définies par les neuf mêmes points, moins le premier ou le second:

Les trois 4prnières traces y, z,t ou y',z',t' de chacune de ces courbes sur le plan H étant déterminées par le problème précédent, on aura, dans le groupe

sept points de la trace de la surface S sur le même plan, ou sept points d'une conique qui renferme les quatre points cherchés.

Opérant de même avec un neuvième point xt pris encore dans le plan II, on obtiendra de même sept points

f 0 a ) xlt yl9 z,, llt y , , z , , t\

d’une nouvelle conique contenant encore les points cherchés, dont la détermination ne dépend plus que du tracé des deux courbes Ct, C’, .

343. Remarque. — Si le plan H s’éloigne indéfiniment, la construction précédente subsiste toujours, de manière à donner, à la limite, les quatre directions asymptotiques de la courbe. Toutefois, les points x, x, que l’on prenait d’abord arbitrairement sur le plan H, devront être remplacés par des points pris à l’infini dans des directions arbitraires, et toutes les constructions modifiées conformément à la remarque du n° 333.

Cette construction suppose d’ailleurs le tracé d’un nombre de coniques qui parait excessif. Deux coniques devraient suffire et suffisent effectivement, comme on le verra au