CONSTRUCTION T)E LA TANGENTE

sur le plan xy z \ et que, considérant une conique doublement conjuguée au quadrangle résultant et au

triangle xj2, on détermine, par rapport à celte conique, les pôles respectifs

des plans

ou de leurs traces respectives sur le plan xyz : les droites l'I", 2' 2", 3' 3", 4' 4"

se couperont en un môme point fi, et la tangente au point O de la courbe gauche proposée coïncidera avec la droite O fl.

Imaginons, en effet, un octaèdre variable 123400',

toujours inscrit à la courbe, et dont le sixième sommet O' se rapprocherait indéfiniment de l’un des sommets fixes O.

Un triangle et un octaèdre inscrits à une même courbe gauche du quatrième ordre étant toujours conjugués à une même conique, une même conique variable sera continuellement conjuguée au triangle xyz et à toutes les couples de droites déterminées, sur le plan de ce triangle, par les faces opposées de l'octaèdre 123400', savoir :

(P, P') 012 et 0'34, 023 et 0'14,...,

ou encore

(Q, Q') 234 et OO' 1 , 341 et 00'2,

Si l’on conçoit maintenant que le point O' se rapproche de plus en plus du point O, et que l’on passe à la limite en posant l’identité

on voit d’abord que la conique précédente a pour limite une certaine conique à la fois conjuguée au triangle xyz et à tous les systèmes de deux droites

(P,, P1,) i'2' et 3' 4', 2'3' et l'4' , . . .

formés des côtés opposés ou des diagonales du quadrangie plan déjà défini l'2'3'4/. Cette conique est donc conjuguée à la fois au quadrangie i'Q'Z'i' et au triangle xyz. En outre, si ÎÎ désigne la trace, sur le plan xyz de la tangente en O à la courbe gauche proposée, ou de la limite de la corde 00', on voit que la conique précédente est. aussi conjuguée à tous les systèmes résultants de l’une des droites

(Q’,) al', a2', . . .

— traces respectives, sur le plan xyz , des limites des plans

— respectivement, associées aux traces analogues des plans

Les pôles de ces traces, par rapport à cette conique,

appartiennent donc respectivement aux droites conjuguées

ni', n2\

Et l’on peut dire, en d’autres termes, que les droites

concourent en un même point Q appartenant à la tangente cherchée.

345. La construction de la tangente en un point quelconque d’une courbe gauche du quatrième ordre est donc subordonnée au problème suivant :

Une conique étant définie par un triangle et un quadrangie conjugués, construire , par rapport à cette conique, le pôle d' une droite donnée.

Or les côtés du triangle, pris deux à deux, font trois couples, et les côtés opposés du quadrangie deux autres couples distinctes