XY,YZ,ZX; AA', BB

PHOBLÈME PLAN AUXILIAIHE. 385

de droites conjuguées par rapport à la courbe. Le pôle correspondant d'une droite quelconque

se trouvera donc, par un théorème antérieur, au point de concours des droites

respectivement définies par les identités

(1) XY4-YZ4-ZX4-AA'4-PP'=io,

(2) XY 4- YZ 4- ZX 4- BB' 4- PP" o .

Chacune de ces droites forme effectivement le lieu des pôles de la proposée P = o, par rapport à toutes les coniques conjuguées aux deux droites de quatre des couples données (n° 160, p. 162). La question est doue seulement de construire chacune des droites P', P". Or l’identité (i), qui sert de définition à la première, pouvant se dédoubler dans les équations équivalentes (l') XY4-YZ4-ZX^o,

(i") AA' 4- PP' — . o,

on reconnaît aussitôt, dans la courbe représentée par l’une ou l’autre de ces équations, une conique doublement circonscrite au triangle donné XYZ et au quadrilatère partiellement inconnu APA'P' {J‘g- 74)- Cinq points de cette

lug.

courbe se trouvent ainsi en évidence qui sont les sommets du triangle donné cl les traces de la droite donnée P = o

sur les côtés opposés A et A' du quadrilatère. On pourra donc construire les deux dernières traces

de ces côtés sur la courbe, ou deux points de la première des droites cherchées P'= o. Donc, etc.

«346. Remarque 1 . — La tangente en chaque point x d’une courbe gauche du quatrième ordre

est susceptible d’une autre détermination indépendante de la propriété de neuf points d’une telle courbe. On sait effectivement que, si l’on considère toutes les surfaces du second ordre circonscrites au groupe

les plans polaires d’un point quelconque x, par rapport à toutes ces surfaces, concourent en un même point x' que l’on peut construire (n05 302 et 322). D’ailleurs si, entre toutes ces surfaces, on considère spécialement celles qui passent en outre par le point x ou par la courbe gauche proposée (C4), les [dans polaires du point x, par rapport à ces dernières surfaces, coïncident avec leurs plans tangents en ce point. Tous ces plans tangents passent donc par le point x', lequel est un point de leur intersection : ou un point de la tangente en x à la courbe gauche considérée, commune intersection de toutes ces surfaces.

347. Remarque II. — Cette dernière construction serait surtout avantageuse si, ayant à tracer la tangente en un point x de la courbe, celle-ci se trouvait déterminée par la -donnée complémentaire d’un hexaèdre inscrit. Il suffirait effectivement, dans ce cas, de construire le point de concours x' des plans polaires du point donné x par rapport aux angles dièdres formés des faces opposées de l’hexaèdre, et la droite xx' serait la tangente cherchée.