CONSTRUCTION DU PLAN OSCULATF.UR

Toutes les surfaces du second ordre menées par les premiers sommets de l’hexaèdre actuel passent en effet par le huitième, et les trois couples de plans formées des faces opposées de l’hexaèdre font trois de ces surfaces.

348. Remarque III . — Il est d’ailleurs toujours possible de passer, des données générales d’une courbe gauche du quatrième ordre, aux données particulières que suppose la construction précédente (/7 g. 75).

N Fie- 75.

Car la courbe proposée étant délînie par huit points quelconques l , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, on peut, par le problème 1 (n° 332. p. 373), en déterminer la quatrième trace

n ou b ou c sur l’un quelconque des plans

123 ou 234 ou \'lb.

Et l’on a , de la sorte, les sept premiers sommets d’un hexaèdre \<&'&a£bcd inscrit à la courbe, et qui permet d’en obtenir autant de tangentes que l’on veut.

349. Problème VI. — Étant donnés sept points O; 1,2, 3; x, y, z

d'une courbe gauche du quatrième ordre et la tangente OO' en l'un de ces points; si, menant d’abord les cordes 0 1 , 02, 03 et la tangente 00’, on détermine leurs

traces respectives

sur le plan xyz, et que, considérant une conique doublement. conjuguée au quadrangle résultant l'2'3'&/ et au triangle xyz, on détermine, par rapport à cette conique, le pôle LV du plan 123 ou de sa trace sur le plan xyz : le plan oscillateur au point O île la courbe gauche proposée coïncidera avec le plan

Ow'ft'.

Imaginons, en effet, un octaèdre variable 12300' 0",

toujours inscrit à Pa courbe, et dont les deux derniers sommets O', 0"se rapprochent indéfiniment de l'un des sommets fixes O.

Un triangle et un octaèdre inscrits à une même courbe gauche du quatrième ordre étant toujours conjugués à une même conique, une même conique variable sera continuellement conjuguée au triangle xjz et à toutes les couples de droites déterminées sur le plan de ce triangle par les plans des faces opposées de l’octaèdre 1 2300'0/,) savoir :

(P, P') 012 et O' O" 3, 023 et 0'0"1, 031 et 0'0"2;

ou encore

(Q, Q') 123 et 00' O".

Si l’on conçoit actuellement que les points O', O" se rapprochent de plus en plus du point O et que l’on passe à la limite en posant l’identité

6 == 6' ss 6" :

on verra d’abord que la conique précédente a pour limite une certaine coniquedoublement conjuguée au triangle xyz et à tous les systèmes de deux droites

(P,, P',) l'2' et w'3\ 2' 3' et »' 1', 3'1' et «'2',