CONSTRUCTION DU CERCLE OSCILLATEUR

formés des côtés opposés ou des diagonales du quadrangle déjà défini l,2,3,er>,# Cette conique est donc conjuguée à la fois au quadrangle l/2,3/ tel et au triangle xyz. En outre si te’ SV désigne la trace, sur le plan xyz , du plan oscillateur au point O de la courbe gauche proposée, ou la trace du plan OO'O" considéré à sa limite; la conique précédente est aussi conjuguée au système formé de cette droite w'il'et de la trace analogue du plan 123 sur le plan xyz [(Q, Q')]. Le pôle SV de celte trace, par rapport à cette conique, doit donc appartenir à la droite conjuguée, ou à la trace du plan osculaleur sur le plau xyz ; et celle-ci coïncide avec la droite menée de ce pôle Û' à la trace o>' de la tangente en O.

350. Problème VII. — Etant donnés sept points 0; 1,9, 3, 4, 5, 6

d'une courbe gauche du quatrième ordre , la tangente en l’un de ces points O et le plan oscillateur correspondant (problème VI); si, dans ce plan oscillateur et tangentiellemenl à celte tangente, on imagine une conique conjuguée à l’octaèdre 1 23156, cette courbe passera d’elle-même par le point O; son rayon de courbure en ce point, reporté, en sens inverse, sur le prolongement extérieur de la normale, servira de diamètre au cercle osculaleur en O de la courbe gauche proposée, et la construction effective de celui-ci dépendra seulement du tracé d’un cercle conduit parle point O, tangentiellement à cette conique, et orthogonaleme.nl au cercle diagonal de cette courbe, que l’on sait construire.

Soit effectivement OO'O" un triangle auxiliaire, inscrit à la courbe gauche proposée, comme l’octaèdre 123-156. Ce triangle et cet octaèdre seront conjugués à une même conique située dans le plan de ce triangle, et le cercle circonscrit à ce dernier coupera orthogonalement le cercle

diagonal de cetle conique. Si l’on conçoit dès lors que les points O' et 0" se rapprochent de plus en plus du point O, et si l’on passe à la limite en posant la double identité 0 = 0'== O"; on verra d’abord que la limite du cercle circonscrit au triangle 00'0f/, ou le cercle osculateur au point O de la courbe gauche proposée, coupe encore orthogonalement le cercle diagonal d’une certaine conique, située dans le plan osculateur en ce point, et doublement conjuguée à l’octaèdre 123456 et au seul point O assimilé à un triangle évanouissant. Sil’ou observe en suite qu’un triangle conjugué 00'0",dont les trois côtés tendent simultanément vers zéro, se résout, à la limite, en un point O situé sur la conique conjuguée, et la commune direction des côtés de ce triangle, pris à la limite, dans la direction de la tangente à cette conique en ce point; 011 verra que celte conique-limite, dont nous parlions tout à l’heure, est définie par quatre couples de droites conjuguées — les quatre couples résultant des traces des faces opposées de l’octaèdre 1 23456 sur le plan osculateur en O — et une tangente, qui est la tangente en O à la courbe gauche proposée. Donc, etc.

On doit d’ailleurs se rappeler que les données précédentes — une tangente et quatre couples de droites conjuguées — permettent de construire à priori , par ta règle et le compas , le cercle diagonal de la conique correspondante (n° 155), et par suite le cercle, orthogonal à celuilà, mené par le point O tangenliellenienl à la courbe gauche proposée.

351. Remarque I. — Les trois conditions auxquelles est assujettie une conique par la donnée d’un triangle conjugué xyz, se conservent lorsque les trois sommets de ce triangle étant confondus en un seul, x =y = z, ils ne cessent pas cependant d’être connus et se trouvent encore définis comme trois points consécutifs, ou infiniment voisins, d’une courbe donnée de forme et de position, par