DU QUADRANGLE CONJUGUÉ ÉVANOUISSANT. 3()I

exemple d’un cercle. Dans ce cas, le cercle de rayon sousdouble qui touche extérieurement le cercle donné suivant le point unique x, auquel se réduit ce triangle conjugué, est osculateur en ce point à la courbe ; et la donnée de ce cercle et celle du point d’osculation font encore trois conditions distinctes.

La recherche des deux conditions distinctes auxquelles est assujettie une conique par la donnée d un quadrangle conjugue xyzt , dans le cas-limite où trois des sommets de ce quadrangle se confondent suivant un point déterminé = z , d’une courbe dont la tangente et le cercle osculalcur en ce point sont supposés connus, cette recherche paraît d’abord beaucoup moins aisée; car on n’aperçoit bien que l'une des deux conditions dont il s’agit : celle qui résulte des limites connues des deux droites tx, yz et qui fournit une première couple de droites conjuguées par rapport à la conique primitive. Quant à la condition restante, comme elle dépend au fond de la situation, sur un cercle déterminé, des trois sommets coïncidents x,y, z, sa détermination directe est plus cachée. On y supplée, toutefois, en ramenant le cas actuel à celui du triangle conjugué évanouissant .

i) . Supposons, par exemple, qu’étant donnés cinq points 1,2, 3, -4, 5 d'une courbe gauche du quatrième ordre et trois autres points de la même courbe

confondus en un seul sur un cercle donné À, il s’agisse d'obtenir la quatrième trace t de la courbe sur le plan de ce cercle.

Si l’on représente par l’équation tangentielle S — o

cette conique que le théorème du n° 330 nous montre comme doublement conjuguée au pentagone gauche 12343 et au

quadrangle xyzt, ou XYZT = o ; on pourra d’abord regarder cette courbe comme entièrement connue, et déduire, de sa définition par rapport à ce quadrangle. l’identité (t) SsaX' + iY’+cZ'-t-rfT’.

Rapportant ensuite cette môme courbe à ses deux traces o = P = Q sur la polaire du point inconnu /, et à ce point lui-même T = o, par l’équation tangentielle (i') o = S==P.Q+X.T!,

la comparaison des deux formes équivalentes (1), (i') entraîne une identité que l’on peut écrire (2) S' = «X’ + èY3 + cZ‘£=P.Q-+-yTI;

et l’on a, dans la courbe représentée tangentiellement par l’une ou l’autre de ces fonctions égalée à zéro, une conique auxiliaire S' conjuguée au triangle évanouissant xyz, et doublement tangente à la proposée S = o suivant la polaire du point t que l’on cherche. D’ailleurs, comme les trois sommets x,y, z de ce triangle se confondent, à la limite, sur un cercle donné; le cercle A’ de rayon double, tangent extérieurement à celui-là, représente le cercle oscillateur en x à la courbe auxiliaire S' (n° 207, p. 219) ; et le problème se trouve ramené au suivant.

2). Par trois points x, y, z , confondus en un seul sur un cercle donné A1 = 0 {fi g- 76), mener une conique dou-

FiC. 76.

blemenl tangente à une conique donnée S = o, et. construire le pôle l de leur corde de contact.