REMARQUES DIVERSES

Soient, à cet effet,

la conique que l’on cherche, rapportée à son cercle oscillateur A7, à la tangente T au point d’osculation et à la corde inconnue V = o qui va de ce point au quatrième point d’intersection de ce cercle et de la courbe.

Si U = o désigne la corde de contact de celte courbe et de la proposée S= o, on aura identiquement

S' = S + U', ou

ou encore

On a par suite, dans la courbe représentée par l’une ou l’autre de ces fonctions égalée à zéro, une conique auxiliaire menée par les quatre points d’intersection de la conique S et du cercle donnés A', tangentiellement à la droite T = o. Or le cercle A7 fait évidemment l’une des deux déterminations de celle conique auxiliaire; celle-ci n’est donc réellement déterminée que d’une seule manière. Et si, après avoir construit le point où elle touche la droite T, on lui mène, par l’origine x, une nouvelle tangente V = o; la corde de contact de ces deux tangentes fournira la droite U = o : et le pôle de cette droite, par rapport à la conique S, le point t que l’on voulait obtenir.

352. Remarque II. — Étant donnés cinq points 1, . . .,5 d’une courbe gauche du quatrième ordre, l'un de ses plans oscu/ateurs xyz et la quatrième trace l de la courbe sur ce plan ; on peut choisir arbitrairement le point d’osculation x. Et si l’on mène ensuite, par ce point x, une conique S7 qui ait, avec une autre conique située dans le plan xyz et conjuguée au pentagone 12. ..5, un double contact suivant la polaire du point t : la courbe gauche pro-

posée et cette conique S/ seront tangentes extérieurement en x, et leurs rayons de courbure, en ce point, seront dans le rapport de 2 à 1.

353. Remarque 111. — Etant donnés cinq points 1, . . .,5 d'une courbe gauche du quatrième ordre, l'an de ses plans osculateurs xyz et la quatrième trace t de la courbe sur ce plan ; la tangente indéfinie au point d'osculation (x==y==z) peut être prise arbitrairement. Et si, tangenliellement à la droite choisie ab , on mène une conique S' qui ait, avec la conique conjuguée au pentagone 1 2345, un double contact suivant le polaire du point t : le point d’osculation x^y=z se trouvera au point de

contact de la conique S' et de la droite ab.

§ III. — Des paraholoides dêjinis par huit points et des quatre cônes du second degré que l'on peut circonscrire à une courbe gauche du quatrième ordre.

354. Problème VIII. — Étant donnés neuf points d' unesurface du second ordre, construire ses traces sur une droite donnée.

Soient xy et 1 , 2,. . ., 9 la droite et les points donnés. Si l’on mène par le point I une transversale II' qui s’appuie sur chacune des droites xy et23 $ et que I on construise, par le problème I (n° 332), les quatrièmes traces a, a1 sur le plan 123 des deux courbes gauches

on aura d’abord la seconde trace Y de la transversale sur la surface proposée, dans la seconde trace de celte transversale sur la conique

C, = 123aa';

et si l’on détermine ensuite, par le problème II, les deux dernières traces 6, c ou b1, c' de chacune des courbes

C( = ll'2345()7, C', = 11'2 34 5 G8

IKTERSECTIOK d’uNE DROITE ET DDK ELLIPSOÏDE. 3q5

sur le plan (11', xy) : les traces de la droite xy sur la conique

C,==U 'bcb'J

fourniront les points cherchés.

355. Remarque I . — Une semblable intervention des courbes gauches du quatrième ordre définies par huit des points donnés permettrait de même de déterminer : le plan tangent en l’un de ces points, la section de la surface par le plan mené suivant trois quelconques d'entre eux, le sommet du cône circonscrit suivant cette section ; le centre enfin et trois diamètres conjugués de la surface dont les axes principaux pourraient alors être déterminés conformément à une construction antérieure. Quant au cône asymptote, sa détermination ne dépend que du problème IV (n° 342, p. 38*).

356. Remarque II. — Le problème précédent permet : i° de construire par la règleet Je compascinq points distincts de la trace, sur un plan quelconque, d’un ellipsoïde défini par neuf points; 2° de ramener, à la construction de deux coniques seulement, la recherche des traces, sur un plan quelconque H, d'une courbe gauche définie par huit points 1,2, ..., 8 (Problème IV, n° 342).

Soient, en effet, m un point quelconque du plan II, A et 6 deux droites conduites à volonté dans ce plan. Si l'on considère l’ellipsoïde

le problème que l’on vient de résoudre (n°353) permet d’en déterminer les deux traces a et a, b et (5 sur chacune des droites A, B et, par suite, de définir par cinq de ses points la trace

C, = ma a b p

de cet ellipsoïde sur le plan H. La même construction, répétée pour un second ellipsoïde

fournirait de même cinq points de sa trace C \=m'tïo!b' p'

sur le plan considéré; et les traces sur le même plan delà courbe gauche proposée 1 2... 8 se trouveraient, aux points de rencontre des deux coniques précédentes .

357. Problème IX. — Étant donnés huit points et un plan tangent d'une surface du second ordre, construire le centre et les éléments principaux de la surface, ou seulement son point de contact sur le plan donné.

1). O11 sait que la section d’une surface du second ordre par l’un quelconque de ses plans tangents peut être :

Un système de deux droites réelles qui se croisent au point de contact, s’il s’agit d’une surface à courbures opposées, liyperboloïde à une nappe ou paraboloïde hyperbolique;

Une ellipse réduite à un point, le point de contact; ou, en d’autres termes, un système de deux droites imaginaires conjuguées se coupant en un point réel, s’il s’agit d’une surface à courbures de même sens, ellipsoïde ou hyperboloïde à deux nappes.

Or, la surface actuelle touchant le plan H et contenant les points 1,2,..., 7, 8, ainsi que la courbe gauche du quatrième ordre qu’ils déterminent, la section de celte surface par le plan H sera l’un des trois systèmes de deux droites (réelles ou imaginaires) que l’on peut mener par les traces de cette courbe sur ce plan.

O11 construira donc, comme précédent ment(n05 352, 356), les traces x,y, z , t de la courbe gauche (1 2 3 i 5 6 7 8) sur le plan II, ou deux des coniques qui se coupent suivant ces traces; et les sommets £, yj, £ du triangle conjugué commun à ces deux coniques seront les points de contact des trois surfaces répondant à la question.

Si les points x, y, z, t sont réels, ils donnent naissance à trois couples de droites réelles. Les points de concours