S, PAU HUIT POINTS ET ON PLAN TANCENT

£, ri, £, réels aussi, des deux droiles de chaque couple, marquent les points de contact sur le plan H de trois hyperboloïdes à une nappe , qui forment les trois solutions du problème, et dont les droites de chaque couple font deux génératrices rectilignes.

Si les quatre points x, y , z, f communs aux deux coniques sont imaginaires, ils donnent lieu, comme on sait, à une couple de droites réelles et à deux couples de droites imaginaires conjuguées se coupant en un point réel. Les sommets £, £ du triangle conjugué commun aux deux co-

niques sont encore réels et marquent encore les traces sur le plan H de trois surfaces répondant à la question : un hyperboloïrle à une nappe dont les sécantes réelles font deux génératrices rectilignes, et deux surfaces à courbures de même sens, ellipsoïde ou bypcrboloïde à deux nappes.

Enfin, si deux des quatre points x, y, z, t communs aux deux coniques sont réels, les deux autresélant imaginaires; ils donnent lieu à une seule couple de sécantes réelles et à deux couples de sécantes imaginaires, non conjuguées, qui se coupent dès lors en des points imaginaires. Un seul des sommets du triangle conjugué commun aux deux coniques est réel, et l'unique solution du problème est fournie par un hypcrboloïde à une nappe.

2). Le point de contact déterminé, on a neuf points de la surface dont le centre elles éléments principaux peuvent dès lors être obtenus de bien des manières différentes. Mais les données spéciales du cas actuel, les constructions qu’il a fallu effectuer dans le plan tangent donné pour en obtenir le point de contact, permettent d’achever le problème plus simplement, comme il suit.

Les constructions déjà elleeluées nous ont donné en effet, en même temps que le plan de contact, la forme et la direction de la section de la surface par le plan tangent donné et, par suite, la forme et la direction de toutes les sections parallèles. 11 en résulte, la surface étant mainte-

naul rapportée à l’octaèdre inscrit 12.. .56 par l’équation

^1 Pl Ql — O,

que sa trace sur un plan quelconque H7, parallèle au précédent, est connue de forme et de direction, et appartient d’ailleurs à la série triplement indéterminée des coniques contenues dans l’équation analogue

Or toutes celles de ces courbes qui sont homothétiques à une conique donnée ont deux points communs, lesquels appartiennent à la droite unique et déterminée (nu152, p. 167) que renferme l’équation (1), et qui sont fournis par les traces de cette droite sur l’une des courbes homothétiques de la série, telle que

D’ailleurs cette dernière courbe, donnée de forme eide direction et conjuguée à trois couples de points connus (n° 151, p. i56), est déterminée. Il en est de même de ses traces m, m' sur la droite précédente, et la section de la surface par le plan H' déjà donnée de forme et de direction, contient, en outre, chacun des points m, m'. Mais, si le plan sécant H' a été conduit par l’un des points restants 7 ou 8, cette section contient aussi le point 7, ou le point 8, et se trouve complètement déterminée. On pourra donc construire, outre la section tangentielle H, deux autres sections H', H" parallèles à celle-là, et en déduire immédiatement le centre et trois diamètres conjugués de la surface.

358. Observation. — Nous venons de dire que les sections H, H', H" sont connues de forme et de direction : ce ({ii i est évident et 11e demande aucune explication dans le cas où la section tangentielle H se compose de deux droites réelles que l'on n’a plus qu’à transporter parallèlement à