DU PARABOLOÏDE DÉFINI PAR HLTT POINTS

elles-mêmes dans chacun des plans H' ou H" pour avoir les directions asymptotiques des sections correspondantes. Si la section tangentielle se compose de deux droites imaginaires conjuguées, ou se réduit à une ellipse évanouissante E, on connaît encore non-seulement le centre A, mais aussi la forme de cette ellipse, laquelle est caractérisée par les directions, que l’on peut construire, de ses divers systèmes de diamètres conjugués. La fonction E = o relative à cette ellipse étant, en effet, une combinaison linéaire des fonctions S, S' relatives aux deux coniques auxiliaires qui en ont déjà fourni le centre A, on a identiquement S + S' = E.

Les polaires d’un point quelconque m de la figure, par rapportaux trois courbes, donricnllieu à une identité analogue P,+ Plf==Pe.

Ces polaires concourent en un même point m', et les droites Am, Am', menées de ces points au centre de l’ellipse E, font deux diamètres conjugués de cette courbe. Or, les coniques S, S' étant connues, on peut, quel que soit le point m, construire le point m'. Donc, etc.

359. Problème X. — Construire la direction ries diamètres et les éléments principaux d'un paraboloïde défini par huit points. •'

i). Tout paraboloïde étant tangent au plan à l’infini, la direction du point à l’infini suivant lequel se fait le contact et la direction des diamètres du paraboloïde se confondent. La première moitié du problème dépend donc de celle question que l’on vient de résoudre : « Etant donnés huit points et un plan tangent d’une surface du second ordre, construire le point de contact de la surface sur le plan donné; » le plan donné actuellement n’étant autre que le plan à l'infini.

On déterminera donc les traces, sur ce plan, de la courbe gauche 12 3 45 6 7 8, ou deux des cônes, de même som-

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met o dont les génératrices communes ox, oy, oz , ot aboutissent à ces traces et en marquent les directions.

Si ces quatre génératrices sont réelles, elles donnent naissance à trois couples de plans diagonaux réels, et les droites d’intersection o\, ou, o£des deux plans de chaque couple représentent les directions diamétrales de trois paraboloïdes hyperboliques répondant au problème etdont les plans directeurs coïncident avcfc les plans dechaquc couple.

Si I es quatre génératrices sont imaginaires, elles donnent lieu à une couple de plans réels et à deux couples de plans imaginaires conjugués se coupant en une droite réelle. Les arêtes o\, on, oÇ du trièdre conjugué commun aux deux cônes donnent encore les directions diamétrales de trois paraboloïdes répondant au problème : un paraboloï/le hyperbolique dont les deux plans réels représentent les plans directeurs, et deux paraboloïdes elliptiques.

Enfin, si deux des génératrices communes aux deux cônes sont réelles, les deux autres étant imaginaires; elles donnent lieu à une seule couple de plans réels et à deux couples de plans imaginaires non conjugués. Une seule des arêtes du trièdre conjugué commun aux deux cônes est réelle, et Tunique solution du problème est fournie par un parabolo'ùle hyperbolique dont les deux plans réels représentent encore les plans directeurs.

2). La direction des diamètres étant connue, nous pourrions regarder le paraboloïde comme défini par neuf points dont l’un situé à l’infini dans cette direction, et l’un des problèmes antérieurs nous permettrait d’en obtenir le plan tangent en chacun des points 1, 2, 3; soit T l’un de ces plans tangents. Par le point de contact correspondant 1 ou 2, ou 3, imaginons un plan X perpendiculaire à l’axe, ou à la direction des diamètres; et diminuons de moitié les ordonnées abaissées des divers points du plan T, normalement au second X. Réduites de la sorte, les extrémités de toutes ces nouvelles ordonnées appartiennent à trois nouveaux

DES 4 COM ES DU SECOND ORDRE DÉFINIS PAR 8 POINTS. ï\Ol

plans T,, ou Tt, ouT3, lesquels se coupent suivant le sommet du paraboloïde. C’est ce qui résulte de la situation du sommet par rapport au segment intercepté sur l’axe par un plan tangent quelconque et le plan perpendiculaire à l’axe mené par le point de contact. Mais c’est aussi un théorème connu, que toutes les sections planes d’un paraboloïde se projettent sur un plan perpendiculaire à Taxe suivant des courbes homothétiques. D’ailleurs, la projection de la section 123 est définie, comme cette section elle-même, par trois points et trois tangentes; et l’on peut construire les directions de ses axes principaux, parallèles aux plans principaux du paraboloïde.

Mais, comme les constructions qui nous ont fourni déjà la direction des diamètres nous peuvent fournir en même temps la forme commune et la commune direction des sections perpendiculaires à l’axe, nous pouvons aussi, comme au n° a) du problème IX, déterminer complètement deux de ces sections et en déduire tous les éléments principaux du paraboloïde.

360. Problème XI. — Étant, donnés huit points situés d'une manière qiudconque dans l'espace , faire passer par ces points an cône du second degré.

On sait que ce problème admet généralement quatre solutions et que les sommets des quatre cônes qui le résolvent coïncident avec les sommets d'un tétraèdre conjugué commun à toutes les surfaces du second ordre que l'on peut conduire par les huit points donnés, ou par la courbe gauche qu’ils déterminent : proposition importante qui a paru d’abord dans le Traité des Propriétés projectives, et sur laquelle on peut consulter le bel ouvrage de M. G. Salmon [A Treatise on the Analytic Geometry, 1862, p. 93). Proposons-nous donc seulement de construire les sommets des quatre cônes du second ordre que l'on

4oa CHAPITRE XI.

sait devoir passer par la courbe gauche

i). Pour cela, nous rappellerons d’abord que la section, par l’un quelconque de ses plans tangents, de toute surface du second ordre menée par la courbe précédente, se réduit à un système de deux droites contenant les sommets x,y, z, t du quadrangle déterminé dans cette courbe par le plan considéré ( Jig . 77). Ces deux droites, d’ailleurs, sont

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réelles et distinctes, et représentent les deux génératrices rectilignes comprises dans le plan langent, s’il s’agit d’une surface réglée quelconque, hypcrboloïdc à une nappe, ou paraboloïde hyperbolique. Dans le cas spécial d’une surface conique, ces deux droites doivent se confondre en une seule suivant la génératrice de contact XY; et les sommets x et t, y et z du quadrangle précédent se confondent aussi deux à deux. En même temps les cordes xt , yz se changent en deux tangentes de la courbe gauche Ct, tangentes situées dans un même plan et dont la corde de contact XY contient le sommet de l’un des cônes cherchés.

Si l’on prend dès lors à volonté un point X sur la courbe gauche 1 2. . .7 8, la génératrice XY, issue de ce point, de l’un quelconque des quatre cônes du second ordre menés par cette courbe, devra la rencontrer en un deuxième point Y, tel que la tangente en ce point et la tangente au point de départ X se trouvent dans un même plan.

Or il est aisé de voir que chacune des tangentes XX'