PREMIÈRE DÉTERMINATION DE LEURS SOMMETS

d’uue courbe gauche du quatrième ordre rencontre en général quatre autres tangagtes (YY', . . . ) de la même courbe et qu’il est facile de déiinir.

Que l’on imagine, en ellèt, un cône auxiliaire (X,C4), ayant pour sommet le point X pris à volonté sur la courbe Ct et celle courbe elle-même pour directrice. Un plan quelconque mené par le sommet X ne pouvant couper la directrice en plus de trois points (outre le point X), ni le cône lui -même en plus de trois génératrices ; ce cône sera du troisième ordre, et sa trace sur un plan quelconque P une courbe du troisième degré C3, que l’on peut définir par neuf de ses points : les projections 1 8' des points

donnés 1 , . . . , 8 et la trace x sur le même plan de la tangente menée à la directrice par le point X. Or on sait construire un neuvième point X de la directrice et la tangente XX' en ce point (n°’ 332 et 344).

Actuellement, si une autre tangente YY' de la directrice s’appuie sur la première XX' (fig. 78), sa perspective yy',

Fig. 78.

sur le plan Pet suivant le point de vue X, sera tangente enj à la courbe C3 et passera d’ailleurs par le point .r. Or, par

un point x d’une courbe du troisième degré, on peut, en général, mener à cette courbev»oulre la tangente en ce point, quatre tangentes xy, xy,, jy,, xysi et l’on ne peut en mener un plus grand nombre. El si l’on suppose le tracé de ces tangentes, ou la détermination de leurs points de contact y, y„ yt,yt, chacune des droites menées de l’un de ces points au point X contiendra le sommet de l'un des quatre cônes que l’on cherche.

Les mêmes constructions recommencées avec un autre point £ de la même courbe gauche C, fourniraient de même quatre nouvelles droites

issues de ce point et rencontrant une à une les précédentes XY, XY,, XY„ XYj, suivant les sommets

des quatre cônes répondant à la question.

Telle serait donc une première solution théorique du problème. Sa construction effective suppose, comme on voit, étant donnés neuf points d’une courbe plane du troisième degré que l’on sache construire, les quatre tangentes menées à cette courbe par l'un de ces points , ainsi que les points de contact de ces tangentes.

2). Mais l’intervention d’une proposition antérieure permet de ramener le problème à des termes beaucoup plus simples, et de réduire toute la construction au tracé de deux coniques seulement.

Inscrivons, en effet, à la courbe gauche proposée 12. ..7 8 deux hexaèdres

H =12 3 akbcd, H' = l 2 3«5/>Vd',

ayant, une face commune 1 2 3a, et dont la construction peut se réaliser par la règle et le compas (n° 348, p. 38^).