Soient d’abord

les plans des faces du tétraèdre de référence,

la surface donnée; et

les équations respectivement homogènes d’une courbe passant par le point que l'on considère, et située tout entière sur la surface. Une corde variable, menée de ce point (a, b , c, d) à un point voisin (a -|- à a, b à b, . . .) pris sur la même courbe, peut être représentée d’une infinité de manières par un système d’équations telles que

(2) («A + nB + /)C + yD = o, uA-t-vB-f- oC -+- y I) = o,

dont les huit paramètres seront seulement assujettis aux quatre conditions

ma -+- nb -4- pc -t- qd o, fia 4- -t- ne + yd o,

mSa~\- nSb -f pSc + qSd- o; pSa + vS b -\-rsSc + ySd-- o;

or, les coordonnées tétraédriques A, B, C, D d’un point quelconque de l’espace étant des fonctions déterminées des coordonnées rectilignes z,.r, x du même point; les coordonnées tétraédriques a, b , c, d d’un point quelconque de la courbe (1) sont des fonctions déterminées de l’abscisse x de ce point, et leurs dérivées respectives a', b',... par rapport à x sont pareillement déterminées. Si donc on désigne par dx l’accroissement de l’abscisse x dans le passage du point particulier (a, b, c, d) au point voisin (« 4- tJn, b-\~db,...), on verra que les conditions imposées aux coefficients des équations de la corde qu’ils déterminent peuvent être remplacées par celles-ci :

ma nb - 1- pc 4- thj ~ o,

■Ji a v b 4- a c 4- yd o,

Sa 9 b 9 c 9 il

0 x nx ox ox

9 a 9 b 9 c 9 il

f* T + v VT 4- O y — o.

De là, en imaginant que dx décroisse indéfiniment, et passant à la limite; on voit que la tangente au point (a, b, c, d) delà courbe considérée sera représentée par l’ensemble des équations (a), si les coefficients qui y figurent satisfont aux conditions suivantes :

a ni 4- bn 4- cp 4- <■/</ = o.

a u 4- b v 4-fo -+■ il y = o, a' m 4- h'n 4- c'p 4- d'q — o.

a' y. 4- b'v 4- c'a 4- tl'y — o.

Mais le point («, b, c, d) appartenant à chacune des deux surfaces (1), on a les égalités

que l’on peut écrire, d’après le théorème des fonctions

PRÉLIMINAIRES

afi

homogènes ,

(3' ) «/; (a, b, c, il) 4- bf'h + cf’ + df'{ = o,

'4') b, ll) + bfh + c1,, +'/?', = °-

Le point variable (a- [-3(1, b 3b,. . .) appartenant de même à chacune de ces surfaces, on a aussi

/{<< + Sa, b + Sb,. . .) — /(a, b,.. .)

d’où, en passant à la limite et prenant les dérivées d’apiès la règle relative aux fonctions composées,

(5') n’f' [a, b, c, il) 4- b'/l + c'/' 4- ,1' f{ = o, (6') b, c, il) 4- b'<t'h 4- c' <j>' 4- d’f'a — o.

Or, si l’on compare maintenant les équations (3), (4), (5 ), (6) aux égalités correspondantes (3'), (4*), (5'), (h'), on voit que l’on passe des unes aux autres en substituant aux inconnues

ni, n, p, ij; p, j, u, y , qui figurent dans les premières, les nombres

/„' {«, b, r, il), f'b , ,/]; y’Jn, b, r, il), ^ , ■?[ ,

Ces nombres forment donc l’un des systèmes de valeurs que l’on peut attribuer à ces inconnues, et leur substitution dans les équations (a) donne définitivement

( A/' [n, b, c, il) + B/; 4- C/; 4- D/j =, o,

| A ÿ'(i4 - B ff'b 4- C f'c 4- D y'd = o.

Telle est, pour le point (a, b, c, il), la tangente à la courbe d’intersection des deux surfaces

El si, conservant le point (n, b, c, il) ainsi que la première

de ccs surfaces, 011 fait varier la seconde; 011 voit que le heu île toutes ces tangentes est le plan représenté par l’équation

25. Si 1 on substitue au tétraèdre précédent un polyèdre quelconque, on passera de la même manière, et par une démonstration identique, de l’équation homogène de la surface à celle du plan tangent en l’un quelconque de ses points.

26. Applications. — Soient, avec dix coefficients homogènes ou neuf rapports arbitraires,

/(P„ P„ P„ P,)=y>.„p; aV^P.P^o,

ÀmJl

l’équation générale des surfaces du second ordre rapportées, en vue d une meilleure notation, au tétraèdre

o — Pi — P 3 - — : P3 P* i

(T) P' fpt{p»p*> l>i>Pl) + Pi /,’t + P3 -+- P, /,,'== o, ou en développant

(t) V \„p, P, -l- >.1 (p, Pj +P>P.) = O,

JmJl 1

l’équation du plan tangenl pour le point (p,, pt, ps, p.) de la surface. Comme celle dernière équation (t) est évidemment symétrique par rapport aux coordonnées courantes P,, . . . ,Pt et à celles p,,. . . ,/yv du point de contact, il en est de même de la précédente (T); et l’équation du plan tangent peut aussi s’écrire

27. L'équation du plan polaire d'un point quelconque de l’espace (p,,...,pt) par rapport à une surface du second ordre est identique à l'équation du plan tangent

PRÉLIMINAIRES

pour le même point regardé comme appartenant à la surface {fig. 9).

Fig. 9.

Que le point considéré soit d’abord extérieur , et soit (gj,,..., ot) le point de contact de l’un quelconque des plans tangenis menés, de ce point, à la surface. L’équation de ce plan pourra s’écrire

(T|) CT, f'Vx (P„. • • » P<) + CT,/p'-f- CT3/p' + °l/pt=°> et puisqu’il passe parle point (p,,. . .,p4), on aura CT. fpt . , p, ) -4- ct,/,,' -I- CTj/^-f- CT,y;,'( = o.

Or celte égalité exprime que le plan

contient le point de contact (ci,, . . . , ra4) de l’un quelconque des plans tangents issus du point considéré (p,,. . .,p4). L’équation (P) représente donc le plan de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface et ayant pour sommet le point (p(,...,p4) : ou le p/nn polaire de ce point.

Quel que soit enfin le point (p,,. . .,p4), intérieur ou extérieur , l’équation (P) représente le lieu géométrique des sommets des cônes circonscrits à la sut face suivant les sections déterminées dans celle-ci par les divers plans issus du

Fig. 10.

point (p, , . . . ,p j), ou le plan polaire de ce point (Jig- 10).

Car si (nr,, . . . , GTt) est l’un de ces sommets, le plan de la courbe de contact du cône correspondant et de la surface sera représenté par l’équation

que l’on peut ordonner, par rapport à a,,. . cj4,de cette manière

( P') °i/Pl(Po- •••?< -t- =>, /p,-l“ a< /,!, = “•

Et comme ce plan doit passer par le point on a

Of 4, ■ • • »/»«) ■+• ct, /,,’t + CT, fpt 4- CT, /,'( = O.

Or celte égalité exprime que le plan

P' //<t (/’o- • •>/,<) 4- Pj/Pj+ P3/Pj+ P ifpt— °

passe par chacun des sommets tels que (n,, . . . , o,). Le plan représenté par cette dernière équation est donc le lieu ’ géométrique de tous ces sommets, ou le plan polaire du point (p,,...,pk).

28. Une surface ilu second ordre, étant définie relativement à un polyèdre quelconque (P,, P,,. . ., P„), par Véquation homogène

te plan polaire d'un point quelconque (pt, />,, .

par rapport à cette surface, est encore représenté par

l'une ou l'autre de ces équations

(P'I Pifp -+-... +p,Jf =o.

La démonstration, fondée sur l’identité des deux formes (P), (P') dans le cas d’une fonction du second degré, est identique à la précédente.

PRÉLIMINAIRES. 29

29. Le plan polaire du point (a, b ), par rapport au système de deux plans

AB — o,

sera donc