AB
Ae-t-B« = o ou 1 = 0.
Le plan polaire, cl le plan ~ — 5 — ° mené du pôle à l’in-
terseclion des deux proposés, sont harmoniquement conjugués par rapport au système de ces plans.
§ V. — Des coordonnées tangentielles d'une droite ou d'un plan mobile rapportes aux sommets d'un polygone plan ou gauche.
30. La connaissance du mouvement d’une droite qui se déplace dans un plan fixe suivant une loi quelconque, suppose que l'on soit en état de construire cette droite à une époque quelconque de son mouvement. Les données numériques qui permettent celte construction sont dites, en général, les coordonnées de la droite mobile, et seront ici, d’une manière spéciale, les distances A, B, C . . . de cette droite à un nombre quelconque de points fixes A, B, C,... situés dans le plan de la figure : ou seulement les nombres, positifs ou négatifs, A : B : C : . . . qui mesurent les rapports de toutes ces distances, moins une, à l’une d’entre elles. Le mouvement général de la droite sera d’ailleurs défini par une relation quelconque
entre ces rapports, ou par une équation homogène quelconque
f yk, B,C,...)=0
entre ces distances.
Comme la droite, dans son mouvement, roule en géué-
ral sur une cerlaine courbe à laquelle elle ne cesse point d’ôlre tangente, et qui est dite son enveloppe ; l'équation précédente, à l’aide de laquelle on pourra construire autant de tangentes que l’on voudra de cette enveloppe, en est dite Y équation tnngenlielle.
31. Le mouvement d’un plan dans l’espace donne lieu à des définitions toutes semblables. Les distances A, B, C, D, . . . du plan mobile à un nombre quelconque de points fixes, ou seulement les rapports A ; B ; C : D ; . . . de toutes ces distances, moins une, à l’une d’entre elles, sont encore les coordonnées de ce plan dont le mouvement demeure défini par une relation quelconque
entre ces rapports, ou par une équation quelconque, mais homogène
entre ces distances.
Et comme ce plan roule en général, durant tout son mouvement, sur une certaine surface à laquelle il ne cesse pas de demeurer tangent et qui est dite son enveloppe ; l’équation précédente, à l’aide de laquelle on pourra construire les divers plans tangents de cette enveloppe, en sera dite encore Y équation tangcntielle.
32. Toute équation linéaire et homogène entre les coordonnées d'une droite, ou d'un plan mobile , représente un point (Moebius); ce qui veut dire que toutes les droites et tous les plans dont les coordonnées, ou les distances aux divers points fixes, satisfont à une telle équation, passent par un point déterminé, et que l’on dit, dans ce sens, représenté par cette équation.
La théorie géométrique du centre des distances proportionnelles, ou du centre de gravité , conduit naturellement
PRÉLIMINAIRES. 3l
à celte proposition. Pour la vérifier à priori , désignons par
a.r py -f- y — 0
ou
a.r -t- py -t- y z -t- S —
l’équation en coordonnées rectilignes ordinaires de la droite ou du plan mobile ; et soient x,, j, -, xît yt, . . . , ou X|, y,, z, ; z,,..., les points fixes de référence.
Nous aurons, par hypothèse,
-+- P.' i -t- ysi + d] ~ o,
ou, en développant et ordonnant par rapport aux paramètres variables a, j3, . . . ,
„YV1+yy
À| zt
De là, par l'élimination du paramètre y entre l'équation (i) et l’égalité (a), du paramètre d entre l’équation (i') et l’égalité (a'); les équations (i), (1') de la droite ou du plan mobile pourront s’écrire définitivement
Or il est clair maintenant que la droite tourne autour du point représenté par les équations
et le plan mobile autour du point
xn \ r xn\ .
33. Chacun de ces points disparaît à l'infini dans une direction déterminée
- =>rr — > x: \;z= > >,x(: y a , v,: >A, z,
J iliji Zj Zj Za
si la somme algébrique des coefficients . . ,À„ est égale à zéro :
> Ai — o.
La droite mobile se déplace, dans ce cas, parallèlement à elle-même; et le plan mobile, parallèlement à une droite fixe.
3L Réciproquement il existe une relation linéaire et homogène entre les coordonnées de toutes les droites ou de tous les plans issus d'un même point. En d’autres 'termes, un point quelconque M peut être représenté par une équation linéaire et homogène entre les coordonnées ( tangentiel/es ) d'une droite ou d'un plan mobile
a A + b B -4- rC = o ou a A + èB -+- rC -f êD — o.
Soient d’abord, dans le cas d'une figure plane. A, B, C les trois points de référence et M [Jig. 1 1) le point consi-
Fig. il.
déré. Menons la droite MA qui coupe en A' la droite BC, et désignons par A, B, C, M, A' les distances des points de même nom à une droite menée dans le plan de la figure.
Les distances des points en ligne droite M, A et A'; ou A', B et C, à uue droite quelconque étant liées par une
PRÉLIMINAIRES
relation linéaire et homogène, on aura m M -+- aA+ a' A' = o,
— «'A' 4- &B -+- cC = o ;
et, par suite,
niM 4- o A -+- èB -4- cC = o.
Les distances de quatre points situés dans un même plan à une droite quelconque de ce plan, ou à un plan quelconque, sont donc liées par une relation linéaire et homogène. De là, en supposant que la droite considérée passe par le point M, la relation qu’on voulait établir:
tt A 4- h B 4“ cC — o .
Passant en second lieu au cas général où les points de référence et le point M sont situés d’une manière quelconque dans l’espace, nous joindrons le point M (Jig . n]
Fig. iï.
à l’un des quatre points de référence A, par une droite qui rencontre le plan BCD des trois autres, suivant le point A'. Et nous aurons, entre les distances à un plan quelconque, d'abord des trois points en ligne droite M, A, A', ensuite des quatre points situés dans un même plan A', B, C, D, les relations
mM 4- «A 4- a' K' — o,
— fl’A 4- b B 4— cC* 4~ d D ~ o ; entre lesquelles éliminant A', il vient
m M 4- <i A 4- b B 4- cC 4- <ID = o.
De là, en supposant que le plan considéré passe par le point M, la relation que l’on voulait établir :
n A 4- b B 4" cC 4“ rfD — o.
35. Il résulte implicitement de celte démonstration, ou plus explicitement de celle du n° 32, que deux quelconques des coordonnées d’une droite (ou d’un plan) sont de même signe ou de signes contraires, suivant que les points de référence correspondants sont d’un même côté ou de part et d’autre de cette droite (ou de ce plan).
