DEUXIÈME CONSTRUCTION

La courbe gauche 1 2. . .78 étant située tout entière sur chacun des cônes cherchés, ceux-ci à leur tour seront circonscrits à chacun des hexaèdres H, H'; et leurs sommets devant appartenir (n° 304, p. 34 > ) à chacune des cubiques gauches Cs, C’,, lieux géométriques des sommets des cônes du second ordre circonscrits à Vun ou l'autre de ces hexaèdres ; ces deux dernières courbes devront se couper en quatre points au moins, en cinq an plus, parmi lesquels se trouveront les sommets cherchés. Mais la seconde hypothèse se réalise seule ici. JNos deux courbes ayant, dans le point de concours O des diagonales de la face 1 23a commune aux deux hexaèdres H et H', un premier point commun, étranger évidemment au problème principal, mais qui nous va conduire toutefois aux quatre points qui le résolveut.

Que l’on imagine, en effet, deux cônes auxiliaires du second ordre ayant pour sommet commun le point O, pour directrices respectives les deux cubiques gauches C3, C',, et pour génératrices communes les droites OS,, . . . , OS* menées de ce point à ceux que l’on cherche. En vertu du théorème déjà indiqué (n° 304, p. 34*), les droites menées, dans chacun des hexaèdres H, H', du point O aux points de concours des premières diagonales de toutes les autres faces, fourniront cinq génératrices distinctes de chacun de ces cônes. On pourra donc construire les traces de ceux-ci sur un plan auxiliaire quelconque; et les droites menées du p^int O aux quatre points d’intersection des deqx coniques résultantes iront couper l’une ou l’autre des deux cubiques gauches Cs, C, en des points Sn . . . , St, que l’on peut déterminer par le seul emploi de la règle, et qui résolvent la question.

361. Remarque 1. — Étant donné le sommet x de l'un des quatre cônes précédents, on peut construire par le seul emploi de la règle le plan jzt. des trois autres soin-

mets, ou le plan polaire du sommet x par rapport aux différentes surfaces de la série.

Soient, effectivement, X = o le sommet de l’un des cônes du second ordre passant par les points donnés 1 , . . . , 8, ou P, . . . P„ = o. Ce cône étant circonscrit à chacun des octaèdres 1 . . .6, 2. . .7, 3. . .8, il existe, par rapport à chacun de ces octaèdres, un point X', ou X", ou Xw conjugué au sommet de ce cône et défini par l’une des identités

, hes points X et X', X et X", X et Xw, conjugués deux à deux par rapport à toutes les surfaces du second ordrequi seraient circonscrites à l’un des octaèdres 1...6, ou 2. ..7, ou 3. ..8 (n° 171, p. 174), sont aussi conjugués par rapport à chacune des surlaces circonscrites au groupe total 12. . . 78; et le plan polaire yzt du sommet X, par rapport à l’une quelconque de ces surfaces, n’est autre que le plan que l’on sait construire (nos 267 et 269). D’ail] eurs les traces sur ce plan de l’une des cubiques gauches précédemment définies fourniraient les sommets restants y, s, t.

362. Remarque II. — Étant donnés les sommets x et y de deux quelconques des quatre cônes 12. . .8, on peut construire par la règle seulement la droite qui réunit les deux autres sommets.

§ IV. — De quelques problèmes sur les cônes du second

degré.

363. Un plan transversal quelconque rencontrant une courbe gauche du quatrième ordre et un pentagone gauche inscrit à cette courbe suivant un quadrangle et un penta-

DE l'eM VELOI’PE d’uHE SÉRIE DE COKES, ETC. 4«7

goue plans conjugués à une même conique C (nu 330, p. 371); si le plan transversal est tel [fig. 79), que les sommets x et y. zclt de ce quadrangle se confondent deux à deux, les droites conjuguées xl et yz se confondront en

*'ie- 79-

même temps suivant une même droite XZ; et cette dernière devant contenir son propre pôle par rapport à la conique C sera tangente à cette conique.

C’est ce qui se produit en particulier pour la section d’une courbe gauche C4 par l’un quelconque des plans tangents à l’un des cônes du second ordre menés par cette courbe. La section correspondante du cône doitse réduire, en effet, à un système de deux droites coïncidentes formées de deux côtés opposés xl,jz du quadrangle déterminé dans la courbe par le plan sécant, et le système de ces côtés à une droite unique XZ qui touche la conique conjuguée au pentagone plan dérivé d’un pentagone quelconque inscrit à la courbe primitive. On a donc ce théorème :

Si l'on considère tous les cônes du second ordre menés en nombre infini par cinq points fixes \ , 2, . . . , S tangentiellement à un plan donné, l'enveloppe des génératrices de contact de ces cônes et de ce plan est une conique : la conique conjuguée au pentagone gauche 1 2. . . 5 ou au pentagone plan dérivé de celui-là.

364. O11 peut d’ailleurs établir directement ce théorème de la manière suivante.

Rapportons l’un quelconque des cônes dont il s’agit (fig- 80) à un trièdre variable oGG') formé du plan tangent donné so G, A = o, d’un second plan tangent variable aoG', B = o, issu d’une origine fixe o prise arbitrai-

Fig. 80.

renient dans le premier, et enfin du plan •sGG,) X = o mené par les génératrices de contact des deux précédents. 1/équalion correspondante de ce cône,

ni . AB = Xs,

appliquée à chacun des points donnés 1, . . ., 5, entraine une suite d’égalités que l’on peut écrire

(o) ' wi.B, = — ni. Bs=— ;

et ces valeurs étant portées dans la relation

( 1 ) fi, . Bj -t- ft, . B, -t- . . . -t- u , . Bs o ,

à laquelle donnent lieu les distances de cinq points déterminés à un plan quelconque B = o, il vient