DU CÔNE DÉFINI PAU SIX POINTS ET UN PLAN TANGENT

points 1 , . . . , 5 au plan tangent donne A = o,

Telle est la relation entre les distances X,.. . X, des points donnés I,. . . , 5 au plan mobile X = o, ou l’équation tangentielle de son enveloppe, laquelle apparaît d’abord comme une surface du second ordre conjuguée au pentagone gauche 12... 5. Mais, si l’on remarque que pour chacun des cônes considérés le plan X = o peut tourner d’une manière quelconque autour de la génératrice de contact (o = A = X) de ce cône et du plan tangent donné A = o, ou autour de sa propre trace sur ce plan, on reconnaît aussitôt que' l’équation (a7) doit définir, non l’enveloppe même du plan mobile X = o, mais seulement celle de sa trace sur le plan donné A = o. Cette enveloppe, ou la surface représentée par l’équation ( 2'), se réduit donc à une conique, située dans le plan tangent donné A = o, et conjuguée au pentagone gauche 1 2. . .5, ou au pentagone plan qui aurait pour sommets successifs les traces des côtés successifs de celui-là sur le plan donné A = o.

365. Problème XII. — Déterminer le sommet d un cône du second ordre défini par six points 1, 2, . . . , 6 et un plan tangent.

La génératrice de contact os du cône que l’on cherche et du plan tangent donné zox est tout d’abord désignée, par le théorème précédent, comme l’une des quatre tangentes communes à deux coniques (*) que l’on peut construire, situées l’une et l’autre dans ce plan, et respectivement cou-

(*) Six points situes d’une manière quelconque dans l’espace donnant lieu à n pentagones gauches 12345, 23456, 34561,. . . , ou à n pentagones plans ayant pour sommets successifs les traces, sur un plan quelconque, des côtés successifs des précédents : les coniques conjuguées aux n derniers pentagones sont inscrites à un même quadrilatère.

juguées aux pentagones gauches 1 2345, 23456 formés de cinq des points donnés, ou aux pentagones plans dérivés de ceux-là (fi g. 81).

Fig 81.

Une fois déterminées celte génératrice oz et sa trace o sur le plan 123, la position du sommet a en résulte d’une manière bien simple. L’on a, en effet, quatre points 1 , 2, 3, o de la section du cône correspondant par le plan 12 3, et la tangente ox en l’un de ces points. Cette section est déterminée, et l’on peut construire sa deuxième trace 4' sur le plan mené par la génératrice oz et le point -4. Menant ensuite la droite indéfinie 44', le sommet cherché s se trouvera au point de rencontre de celte droite et de la génératrice oz.

Cette génératrice est d’ailleurs susceptible de quatre déterminations distinctes, et le problème proposé admet quatre solutions. Le problème du cylindre parabolique défini par six points est compris dans celui que l’on vient de résoudre.

366. Problème XIII. — Déterminer le sommet d'un cône du second ordre défini par quatre points et deux plans tangents (AB = o).

La trace du cône sur le plan 1 23 ( fig. 82) est déterminée, bien quedequatremanières différentes, par troispointsl ,2, 3 et deux tangentes oa, ob ; il ne reste donc plus qu’à mener par le quatrième point, 4, une droite qui s’appuie à la fois