DU CÔNE DÉFINI PAR CINQ POINTS ET UNE GÉNÉRATRICE

entraînant les proportions

i X, '. Xi ! Xj “ y A, B, i y A, B, : y A3 B, :

on connaît les rapports des distances à deux quelconques des tangentes données d,2, 3 du pôle inconnu X, qui se trouvera dès lors au point d’intersection de deux droites susceptibles l’une et l’autre, à cause de l’ambiguïté des signes, de deux déterminations distinctes, et que l’on peut construire.

368. Problème XV. — Déterminer le sommet d'un cône du second ordre défini par cinq points et une génératrice rectiligne.

La question peut d’abord se traiier dans le plan, et l’intervention du théorème de Pascal permet de la réduire à ce problème connu susceptible, comme on sait, de deux solutions distinctes : inscrire à un triangle donné un second triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés.

Mais au lieu de transporter dans le plan le problème proposé, qui est solide, on le résout plus simplement dans l’espace en observant que, assujettis à passer l’un et l’autre par les points 1 , . . . , o et à avoir une génératrice commune dans la droite donnée OZ, les deux cônes cherchés se couperont suivant une cubique gauche , laquelle, devant passer par chacun des points 1 , . . . , 5 et s'appuyer en deux points S, S' sur la droite OZ, se trouve entièrement déterminée. D’ailleurs, comme chacun des cônes ayant pour sommet l’un des points d’une cubique gauche, et pour directrice cette courbe elle-même, est du second ordre; on aura, dans les droites menées, de l’un quelconque des deux points S, S', à l’autre et aux points donnés \ ,..., 5, six génératrices d’un même cône du second ordre; dans ces points eux-mêmes, S, S', les sommets des deux cônes que l’on cherche. Le problème est donc ramené à la recherche des

deux traces S, S' d'une droite donnée OZ sur une cubique gauche assujettie à s'appuyer en deux points sur cette droite et à passer en outre par cinq points donnés. Or les côtés d'un triangle (ISS') inscrit à une cubique gauche, et ceux du quadrilatère 2345 déterminé par le plan de ce triangle dans un tétraèdre (2345) inscrit à la courbe , font sept tangentes d'une même conique (n°287, p. 3a3) : et l’on connaît ici le plan (ISS') ou (1, OZ) de celte conique et cinq de ses tangentes qui sont les côtés du quadrilatère 2345 et la droite SS' ou OZ. On pourra donc mener du point 1 à celte courbe deux nouvelles tangentes 1 S, 1 S', et leurs traces sur la droite OZ fourniront les sommets des deux cônes répondant à la question.

PROPRIÉTÉ DE NEUF PLANS ASSOCIÉS

Sommaire. — Des surfaces du second ordre inscrites à un même groupe de huit plans et de la développable du quatrième degré circonscrite à toutes ces surfaces. — Propriété de neuf plans associés quelconques, et translation du théorème corrélatif de celui de Desargues à la figure formée de neuf plans tangents d’une développable D4. — Construction, à l'aide de ce théorème, d’un neuvième plan tangent à la surface et des cléments principaux d'un paraboloïde ou d’une conique, définis pur huit plans tangents.

§ I. — De la propriété de sic tangentes d'une conique transportée à neuf plans tangents dune développable île la quatrième classe.

369. Un plan mobile étant rapporte à un système d’axes ox, oy, oz par une équation de la forme

(O) .rX-r/Y +îZ=l,

le mouvement de ce plan et la nature de la surface qu’il enveloppe dépendent uniquement delà forme de la relation (jue l'on voudra établir enlie les paramètres X, Y, Z qui figurent dans son équation. Si celte relation est du premier degré, par rapport à ces paramètres, ou du second, ou du n‘ime, l’enveloppe du plan mobile est de la première classe, ou de la seconde, ou de la confor-

mément au nombre i, ou 2, ou n des plans que l’on peut mener, par une droite quelconque

o =: xX, -1-vY, zZ, — i = xX, 4- y Y, -t- zZ, — i ,

tangentiellement à cette enveloppe.

Considérons en particulier le cas d’une enveloppe de la

seconde classe, et soit

t/(X, Y, Z) ou aX1 ■+■ a'Y2 -H a"ZJ -+- 2 è YZ (11 / h- 2 b' ZX -4- 2 b" XY -t- aeX H- 2 c' Y + 2 c" Z 4- rf =: o

la relation correspondante, du second degré, entre les paramètres X, Y, Z, ou Yéquation tangentiel/e de la surface (Plccker). Si l’on exprime que cette surface touche chacun des huit plans donnés

~rX, H- jrY, -h *Z, = I, . . . , xX, -t-jY» -+- zZ, = 1 ,

h-s égalités résultantes

permettent d’exprimer linéairement huit des coefficients indéterminés a , «ff, b. . . . en fonction des deux autres , a et a' par exemple. Ceux-ci restent seuls arbitraires, et, ces diverses expressions étant substituées dans l’équation (1), elle prend la forme

(1') oF(X, Y, Z)-f- a'F, (X, Y, Z) = o.

Toute surface de la seconde classe menée tangenliellement aux huit plans donnés touche donc en outre une infinité d’autres plans, savoir : tous les plans tangents communs aux deux surfaces représentées par les équations tangentielles

ou tous les plans tangents à la développable qui leur est circonscrite.

Le nombre des plans tangents communs à deux cônes concentriques du second ordre étant égal à quatre, par chaque point de l’espace on pourra mener quatre plans tangents communs aux surfaces (2), (3) , ou quatre plans tangents à la développable qui leur est circonscrite et qui

DÉVELOPPABLES DE LA QUATRIÈME CLASSE. 4l7

est dès lors de la quatrième classe. Huit plans tangents d’une telle développable la déterminent donc entièrement; et neuf quelconques de ces plans sont toujours associés , ou tels que toute surface du second ordre menée langentiellement à huit d’entre eux touche d’elle-même le dernier. On a donc ce théorème :

Toutes les surfaces du second ordre que. Von peut, inscrire à un groupe donné de huit plans s'inscrivent d'elles -mêmes à une. développable de la quatrième classe, laquelle touche à son tour chacun des huit plans donnés et se trouve déterminée par l'ensemble de. ces plans. En outre, neuf plans tangents à une telle développable sont toujours associés : et leurs distances P, . P, à un point quelconque de l'espace satisfont à V identité caractéristique (n° 136, p. 1 38)

370. Corollaire I. — Un hexaèdre et un angle trièdre, circonscrits l'un et l'autre à une développable de la quatrième classe, sont toujours conjugués à un même cône du second ordre.

371. Corollaire II. — De même, un tétraèdre et un pentaèdre circonscrits à une telle développable Dt, sont toujours conjugues à une même surface du second ordre.

372. Corollaire III. — Enfin si l’on suppose que quatre des neuf plans tangents considérés concourent en un même point, ce dernier théorème subsiste encore, mais avec une simplification qui permet de le considérer comme l’analogue du théorème corrélatif de celui de Desargues. Rapprochées l’une de l’autre, les deux proposi-

4l8 CHAPITRE SU.

tions peuvent, en effet, s’énoncer ainsi :

Un quadrilatère circonscrit à une conique, et l’angle formé des tangentes menées à la courbe par un point quelconque, sont toujours conjugués à une meme ellipse évanouissante : un système de deux droites, réelles ou imaginaires, issues du point considéré.

Un pentaèdre circonscrit à une développable de la quatrième classe, et l’angle solide tétraèdre formé des plans tangents menés à la surface par un j joint quelconque, sont toujours conjugués à un meme ellipsoïde évanouissant: un cône de second ordre, réel ou imaginaire, ayant pour \ sommet le /mint considéré.

Toutes ees propositions s’établiraient d’ailleurs de la même manière que leurs corrélatives (n° 330, p. 871).

§ II. — Applications ries principes précédents.

373. Problème I. — Une développable de la quatrième classe étant définie par huit plans tangents I .5, X, Y, Z, mener à la sutfacc un neuvième plan tangent par le point, de concours de trois quelconques des proposés.

Soient O ce poiul de concours, et XYZT l’angle solide tétraèdre formé, autour de ce point, par trois des plans donnés et celui que l’on cherche. Imaginons un pentagone gauche 12... 5 ayant pour côtés successifs les intersections successives des plans 1, 2,. . .5 pris dans un ordre quelconque. Les plans des angles successifs de ce pentagone pouvant remplacer les plans 1 , ... 5 avec lesquels ils coïncident, on verra, par le théorème précédent, que l’angle solide tétraèdre (O, XYZT) et le pentaèdre 1 . . .D, ou le pentagone gauche qui le remplace, sont conjugués l’un et l’autre à un même cône du second ordre décrit autour du point O comme sommet : de telle sorte, en particulier, que le plan polaire correspondant de chacun des sommets du pentagone passe par le côté opposé. 11 en résulte que si l’on coupe par un plan quelconque H l’angle

CONSTRUCTION d’uN NEUVIÈME PLAN TANGENT. 4*9

solide XYZT, et que l’on fasse, sur le même plan et suivant le point de vue O, la perspective du pentagone gauclic 1 . .5; le quadrilatère et le pentagone résultants, XYZT et 1'. . .5', seront conjugués à une même conique. Or la seule donnée du pentagone 1'. . .5', qui est entièrement connu, définit la conique conjuguée; et l’on peut déduire directement de ce seul pentagone le pôle d’une droite quelconque, comme on l’a vu déjà; ou la polaire d’un point donné (n° 332, p. 374). On déterminera donc, à l’aide du pentagone 1'. . .5', les polaires des points

et l’on aura, dans les traces respectives de ces polaires sur les droites,

deux points du dernier côté T' du quadiilatèrc X'Y'Z'T'; dans le plan mené par ces traces et le point de vue O, le neuvième plan tangent T que l’on voulait construite.

374. Problèmes II, III, IV. - Une développable de la quatrième classe étant définie par huit plans tangents , construire les divers plans tangents que l’on peut mener à cette surface par un point pris à volonté dans l'espace, ou sur l'un des proposés , ou sur l'une dé leurs droites d'intersection.

Des considérations toutes semblables à celles qui ont été employées déjà dans les problèmes corrélatifs pour les courbes gauches du quatrième ordre s'appliqueraient encore aux problèmes actuels, comme à plusieurs de ceux qu'il nous reste à indiquer, et sur lesquels, par cette raison, nous n’insisterons pas autrement (nos 338-312).

375. Problèmes V, VI. — Une développable de la quatrième classe étant définie par huit plans tangents , construire la tangente à V arête de rebroussement de la

4ao

surface qui tombe dans l’un des proposés, ainsi que le point de contact de cette tangente et de la courbe (n°* 344-349, p. 38a).

Scolie. — Il resterait à construire le cercle oscillateur de l'arête de rebroussement ; mais ce nouveau problème, quoique tout semblable à celui que nous avons résolu déjà poulies courbes gauches du quatrième ordre (n° 350, p. 38g), n’en est aucunement le corrélatif; et les considérations que nous avons employées pour celui-là ne s’y appliquent plus. Comment y suppléer? Et si les considérations dont on parle ne sont plus d’aucun effet pour la détermination du

cercle osculateur, ou de son rayon — i quel est du moins,

pour l'arète de rebroussement de la surface actuelle, le rapport différentiel qu’elles nous permettent de déterminer? La réponse à cette dernière question est assez facile. Et comme l’un de nos théorèmes antérieurs sur les dépendances qui existent entre neuf plans tangents d’une même développable D* exprime que l’hexaèdre et le trièdre formés de neuf plans osculaleurs de l’arête de rebroussement sont conjugués à un même cône du second ordre; on voit d'abord que le rapport différentiel susceptible d’être déterminé par ce théorème, lorsqu’on imagine que les trois faces du trièdre qui y ligure tendent à se confondre, ne peut être que t’un de ceux auxquels donne naissance, dans une courbe gauche quelconque, la considération de trois plans osculaleurs consécutifs. Et si l’on examine la question de plus près, on trouve enfin, entre tous ces rapports, celui que détermine réellement notre théorème, et qui n’est autre que le quotient des deux courbures de l’arête de rebroussement : ou le rayon de courbure géodcsique de son indicatrice sphérique.

DU PAU ABOI.OÏDE INSCRIT A UH GUOUPF- DE 8 PLANS. 4a 1

§ III. — Construction des éléments principaux: d'un paraholoïde ou d'une conique définis par huit plans tangents.

376. Problème. — Déterminer l'axe et le sommet d'un paraholoïde défini par huit plans tangents.

La direction générale des diamètres résulte d’abord d’un théorème antérieur; et si l'on forme, avec les plans donnés, I,. . . 8, les trois hexaèdres I 23436, 234367, 343678, l’axe radical des sphères conjuguées de ces hexaèdres représentera simultanément le lieu des centres de toutes les surfaces inscrites aux huit plans donnés et la direction des diamètres du paraholoïde inscrit (n°‘ 113, p. 109).

On sait d’ailleurs que la sphère diagonale d’un ellipsoïde quelconque et la sphère conjuguée d’un hexaèdre circonscrit sont toujours orthogonales (n°117, p. ito); et si l'on imagine que l’ellipsoïde se transforme en un paraholoïde, on en conclut que le plan diagonal de tout paraholoïde et la sphère conjuguée d'un hexaèdre circonscrit se coupent, orthogonalement : ou que ce plan contient le centre de cette sphère. Le plan des centres des trois sphères précédentes représente donc le plan diagonal du paraholoïde que l’on veut construire; et telle est d’ailleurs la définition de ce plan pour un paraholoïde quelconque, qu’il forme le lieu géométrique des sommets de tous les trièdres trirectangles circonscrits :

On connaît doue cinq plans tangents et le plan diagonal du paraholoïde cherché, dont le sommet se trouvera dès lors au point de concours de trois plans que l’on peut construire, comme nous l’allons voir.

377. Le lieu du sommet des paraboloïdes inscrits à un trièdre donné, et dont le plan diagonal est aussi donné, se réduit à un plan que l’on peut déterminer de la manière suivante :

1). L’un de ces paraboloïdes étant rapporté d’abord à son axe ox et à ses plaus principaux par 1 équation ordinaire

on sait que l’un quelconque de ses plans tangents est défini par une équation de la forme

p cos’ p -4 - p' cos!7 X cos a -4- y cosp -4- " cos 7 = — 2cosa •

Il eh résulte (en désignant par p, p' les demi-paramètres principaux d’un paraboloïde quelconque, par x, y, z les directions de son axe et des tangentes au sommet de ses paraboles principales) que la distance P du sommet du paraboloïde à l’un quelconque de ses plans tangents peut s’exprimer à l’aide de la formule suivante :

(I) pcos’ (N,/) 4- p' cos'J (N, z) = — 2Pcos(N, .r),

où N désigne la direction de la normale au plan langent considéré.

Rapportons actuellement l’un quelconque des paraboloïdcs précédents à trois axes rectangulaires quelconques ox, oy, oz dont le premier toutefois soit dirigé perpendiculairement au plan diagonal donné; et désignons par p, p1 les demi -paramètres principaux de ce paraboloïde; par o, (3, 7; o, (3\ y1 les cosinus directeurs des tangentes au sommet de ses deux paraboles principales; enfin par

P,P,Ps===(«,x -4- b, y -+■ — P>) («>r + b,y -4- c,z — p,)

X (n,x-4- bsy + c,z — p,) = o

les trois plaus tangents donnes. D après la formule (1), et