AXE ET SOMMET DE CE PARABOLOÏDE

conformément à la notation actuelle, lesdislances P,, P,, Ps du sommet du paraboloïde à ces plans tangents satisferont aux équations suivantes :

(1) •+• Ci7)’ +//(*, fi' -+• cfp = — 2d, P,,

(2) p [b-, p -|- cl7)> + />'(*, p' -t- Cj 7'/=: — 2a, P„

(3) /a ( p + Cj7)‘ -+-/>' (6, p' -+- e,7V= — 2fl,Pj.

El si, désignant par X,, i,, ),s trois coefficients dont les rapports soient définis par les deux conditions

on ajoute membre à membre les équations (1), (2), (3), respectivement multipliées par ces coefficients, il vient •

Or la somme p -h p' des demi-paramètres principaux est égale à deux fois la distance du sommet du paraboloïde au plan diagonal ; ou à deux fois l'abscisse x du sommet, si l’on suppose que le plan diagonal se confonde avec le plan des jz. On peut donc poser p p' =. zx. El le lieu du sommet, rapporté au plan diagonal x — o et aux faces P,, P,, Ps du trièdre donné, se trouve défini par l'équation suivante :

11 ne reste donc plus qu’à construire le plan représenté par cette équation.

2). Or la trace de ce plan sur le plan diagonal x = o es définie par l’équation

Cette trace coïncide donc avec la polaire du point ,g b,y 4- C, S— Pi b,y-hr,z — p, b,y + c,z — p,

par rapport à la courbe

D’ailleurs A? point (6) n’es/ autre que la trace, sur le plan diagonal x = o, d une parallèle à la direction générale des diamètres menée par le sommet P, . P, . P5 du tnèdre donné :

a,x-h b, y c,z — p, a, .r y- b,y -+■ csz — p,

et il résulte de la forme de l’équation (7) associée à la définition des coefficients X,, X,, X5, que la courbe (7) n'est autre que le cercle conjugué du triangle P1, Iy5 lys déterminé par le plan diagonal dans le trièdre P, P, P3 . On connaît donc déjà une droite du lieu géométrique des sommets de tous les paraboloïdes considérés, et ce plan sera déterminé si l’on peut en obtenir un nouveau point.

3). Cherchons pour cela le sommet du paraboloïde de

révolution - — |- — = ix appartenant à la série considé-

rée; et soient d’abord j = o, z = o J le foyer

de ce paraboloïde-, fp la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’un quelconque des trois plans tangents donnés

P„P»,Ps-

Le point p appartenant au plan tangent au sommet, x = o, si l’on prolonge la perpendiculaire d’une quantité double pat = ifp, le point m tombera sur le plan