LIEU GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE

diagonal du paraboloïde, x — — - = — P ~^P.— — p.

Donc, inversement, si de chacun des points m du plan

diagonal qui est connu, on mène une ordonnée mp perpendiculaire à l’un des plans tangents donnés P, ou Pj ou Ps 5 et que l’on prolonge cette ordonnée, à partir de ce dernier

plan, d’une quantité pf égale à sa moitié, pf— ^ mp : le

point f qui résulte de celte construction décrira un plan déterminé II,, ou II,, ou II,; et le foyer f du paraboloïde que l’on considère se trouvera au point de concours des trois plans II,, üt, IIS. Quant au sommet cherché, il se trouvera sur la perpendiculaire abaissée du foyer sur le plan diagonal, et au tiers de cette perpendiculaire à partir du foyer.

378. Étant donnés quatre plans tangents P,,. . ., Pt et la direction ox des diamètres, le calcul précédent permet encore d’obtenir le lieu décrit par le sommet du paraboloïde.

Les distances P,,...,P4 d’un point du lieu aux plans donnés satisfont, en effet, aux quatre équations

(1) /)(6,p + e,f'y -hc,y'y = — *rt,P„

(2) - 1- ct-]Y -t-y/(è,fi' -t- c, 7')* — — 2 a, P„

(3) -t- c,-,)1 +//(£,£' -4- c,-/ ;* = — 2üjP3,

Et si, désignant par X,,..., /4 quatre coefficients homogènes définis par les conditions suivantes

(1) 0 = "S MJ s,b,c„

S-Jt Smmtl l!

on ajoute membre à membre les équations (i),..., (4)., respectivement multipliées par les nombres X,,...,Xt, il

4 Jl6 CHAPITBF. XII.

vient, pour le lieu décrit par le sommet du paraboloïde,

(5) V P, =o ou ^ b,y -t-c,z — p,) = o.

11 reste donc seulement à construire le pl an représenté par celte équation.

2). Or si les quatre plans donnés P,,..., P* concourent en un même point co, le plan (5) passe de même par le point w ; et il est aisé d’en définir la trace sur un plan quelconque, tel que x = o, perpendiculaire à la direction des diamètres. Cette trace

ou

coïncide effectivement avec la polaire du point

par rapport à la courbe représentée dans le même plan par l’équation

(8) N 1, p;» = o ou ^ — /?,)»= o.

D’ailleurs, le point (7) n’est autre que la trace, sur le plan X = o, d'une parallèle à la direction des diamètres menée par le point de concours P, ... P, des quatre plans donnés ; et il résulte de la forme de l’équation (8) associée à la définition des coefficients X,,. . . que la courbe (8) n'est autre que la médiane du quadrilatère déterminé par le plan x = o dans l'angle solide tétraèdre P, ... P, , ou la conique évanouissante formée de cette médiane et de la droite à l’infini (n°231, p. 262). Les rayons vecteurs menés du pôle (7) à la polaire (6) se trouvent donc divisés en parties égales par la médiane. Donc, etc.

3). Si les plans donnés P,,..., P* sont quelconques,