AUTRE DÉTERMINATION DU SOMMET

on pourrait encore, après avoir transporté l’un de ces plans, parallèlement à lui-même, au point de concours des trois autres, déterminer, par la construction précédente, la direction du plan des sommets; car cette direction est indépendante de la position absolue des plans P,,. . P4. Mais

le lieu général des sommets se peut aussi construire directement. Le plan (5) n’est autre, en effet, que le plan polaire du point

par rapport à la surface

(b') ^ X,PJ =o ou ^ X,(e,x -t- b, y -H c,z — /», )* :

Or le point (f) n'est autre que le point à l'infini rions la direction ox des diamètres , et il résulte de la définition des coefficients X,,. . ., X4, associée à la forme de l’équation (8'), que la surface représentée par celte équation est uu paraboloïde hyperbolique déterminé , conjugué art tétraèdre P, . . . P4 , < t dont l'un des plans directeurs coïncide arec le plan x — o. La section de la surface ( 8’) par uu plan quelconque x — a. parallèle au précédent n’est autre, en effet, que la droite unique et déterminée représentée par l’une des équations

ou la médiane M du quadrilatère intercepté dans le tétraèdre P, . . . P4 par le plan sécant considéré. La surface (8') ne diffère donc pas du paraboloïde déjà défini, et il suffit de tracer les médianes de trois pareils quadrilatères pour eu obtenir trois génératrices distinctes M, M', M". D’ailleurs, une fois ces génératrices obtenues, si l’on insère entre la première et la seconde, la seconde et la troisième, la troisième et la première trois segments rectilignes pa-

rallèles à la direction ox\ les points milieux p, p', p" de ces segments appartiendront au plan polaire du point, à l'infini dans la direction ox, par rapport au paraboloïde (8'): et le plan pu1 p" représentera le lieu géométrique des sommets de tous les paraboloïdes que l’on considérait d’abord.

Corollaire. — Étant donnés six plans tangents et la direction générale, des diamètres , on peut construire le sommet du paraboloïde par le seul emploi de la règle.

379. On peut aussi déduire des mêmes données les plans principaux du paraboloïde. Mais comme cette recherche suppose la détermination préalable de l’un des cônes circonscrits, nous montrerons d’abord que, dans tout paraboloïde, cinq plans tangents, P, . . . P5 = o et la direction des diamètres, o = Y = Z, déterminent un nouveau plan tangent P =0, issu du point de concours de trois quelconques des proposés, et que l'on peut construire à peu de frais. Tous les paraboloïdes qui remplissent ces conditions admettent en effet huit couples de plans conjugués communs, distincts ou coïncidents, qui sont, en désignant par J le plan à l'infini représenté par l’équation symbolique 1 = o,