DES 4 CONIQUES DÉFINIES PAR 8 PLANS TANGENTS

font dès lors six plans tangents d’un même cône du second ordre. On connaît d'ailleurs les quatre premiers de ces plans et la direction Ox, o = Y = Z, de l’intersection des deux autres. Les plans diamétraux conjugués du paraboloïde forment donc, autour de chacun de ses diamètres O.r, un faisceau en invo/ution. Ce faisceau est défini par les deux couples de plans conjugués menés, de la droite Or, aux arêtes opposées de l’angle solide tétraèdre R', -R', .R', .P' formé de quatre premiers plans*, et les plans principaux du paraboloïde, considérés seulement dans leur direction, coïncident avec les plans conjugués orthogonaux ; les ■plans directeurs, s’il s’agit d’un paraboloïde hyperbolique, avec les plans doubles du faisceau précédent.

381. Étant donnés un cône circonscrit et la direction des diamètres, Yaxe du paraboloïde appartient à un plan déterminé. C’est ce qui résulte de ce théorème : dans tout paraboloïde, le sommet d'un cône circonscrit quelconr/ue, la direction des diamètres et le centre d'une section déterminée dans ce cône par ttn plan perpendiculaire à celle direction, déterminent un plan qui contient l'axe du paraholoïde.

382. On sai t que toutes les surfaces du second ordre que l’on peut inscrire à un même groupe de huit plans, ou à une même développable DtJ admettent un tétraèdre conjugué commun lequel est déterminé par les plans des quatre coniques qui font partie de la série considérée. Proposonsnous donc seulement de déterminer les plans des quatre coniques que l'on peut inscrire à un groupe donné de huit plans 1,2, ...,8, ou à la développable Dt qu'ils déterminent.

i). On peut d’abord substituer, aux données du problème, les données équivalentes de deux octaèdres, circonscrits l’un et l’autre à la développable Dt, et ayant un

sommet commun situé au point de concours 123 de trois des plans donnés (fig- 84). Construisant en effet, par le

Fte. si-

problème 1 (n° 373, p. 4*8), le quatrième plan tangent

que l’on peut mener à la développable D4, par chacun des points

a ou 123, b ou 234, c ou 12«, on obtiendra ainsi trois nouvelles faces d’un octaèdre (O) 123 minpq

circonscrit à cette développable suivant sept de ses faces et par suite aussi suivant la huitième a' b' c' . Une construction semblable effectuée sur les plans 1,2,3, 5 fournirait de même un second octaèdre circonscrit

(O') l 23m5»'/éy'

ayant un sommet commun (123) avec le précédent et même angle solide tétraèdre ( 1 2 3 777 ) en ce sommet.

2). Cette substitution réalisée, on voit que l’une quelconque des coniques cherchées est inscripliblc à chacun des octaèdres précédents. Or on établirait, comme pour le problème corrélatif, que le plan d'une conique mobile, continuellement insciite à un octaèdre donné, roule sur une développable cubique déterminée, laquelle est tan-