EXTRAIT DE INAPERÇU HISTORIQUE

renies transformations dont il est susceptible, et considéré uniquement sous la forme et l’énoncé qui lui sont propres, peut encore être envisagé sous deux aspects différents. On peut le regarder comme exprimant une relation générale et constante entre six points quelconques d’une conique, c’est-à-dire un de plus qu’il n’en faut pour déterminer celte courbe, ou bien comme exprimant une propriété générale d’une conique par rapport à un triangle tracé arbitrairement dans son plan, triangle formé, par exemple, 'par les côtés de rang impair de l’hexagone considéré dans le théorème de Pascal ; et alors ce théorème exprime que trois des cordes comprises dans la conique entre les trois angles du triangle rencontrent respectivement les trois côtés opposés en trois points qui sont en ligne droite. D’après cela, on peut concevoir de deux manières, dans l’espace, l’analogue du théorème de Pascal. Ce sera, dans le premier cas, une propriété générale de dix points appartenant à une surface du second degré, c’està-dire un point de plus qu’il n’en faut pour déterminer une telle surface. Dans le second cas, ce sera une propriété générale résultant du système d’une surface du second ordre et d'un tétraèdre placé d’une manière quelconque dans l'espace.

» La première question, qui devait être la plus utile à l’avancement de la théorie des surfaces du second degré, avait été proposée par l’Académie de Bruxelles (année 1825); elle est restée sans solution. Au concours suivant l’Académie a donné plus de latitude au géomètre, en demandant simplement le théorème analogue , dans les surfaces du second degré, à celui de Pascal sur les coniques; ce qui comprenait la première question, et laissait en même temps toute liberté dans la manière d’envisager le théorème de Pascal et l’analogie qui pouvait exister sur ce point entre les surfaces et les courbes du second degré. •

» Celle nouvelle question île l’Académie n’oll'rait point, comme la première, de grandes difficultés. Nous donnons dans la Note XXXII l’énoncé d’un théorème qui paraît la résoudre. Car il exprime une propriété générale d’un tétraèdre et d’une surface du second degré analogue à la propriété d’un triangle et d’une conique qui exprime le théorème de Pascal (*). Mais il y a loin de ce théorème à la relation générale de dix points quelconques d’une surface du second degré; et la recherche de cette relation est bien digne d'occuper l’esprit des géomètres. Sans doute que nous n’avons point encore tous les éléments nécessaires pour celle recherche : c’est une raison pour étudier sous tous les rapports, sous toutes les faces, les propriétés des surfaces du second degré. Aucune théorie, aucune découverte , quelque minime qu’elle paraisse d abord , n’est à négliger; car. à défaut d’une application immédiate , chaque vérité partielle a au moins l'avantage d’être un anneau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de celte vaste théorie; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes découvertes que développeront rapidement les méthodes de généralisation de la Géométrie moderne.

» Peut-être ce serait une étude préparatoire utile pour parvenir à la relation de dix points d’une surface, de résoudre complètement, et dans tous les cas possibles, le problème où il s’agit de construire une surface du second degré assujettie à neuf conditions, qui sont de passer par des points et de toucher des plans. Ce problème mérite déjà

(*) *t Quand les six arêtes d’un tétraèdre quelconque rencontrent une surface du second ordre en douze points, ces douze points sont trois à trois sur quatre plans dont chacun contient trois points appartenant aux trois arêtes issues d'un même sommet du tétraèdre : ces quatre plans rencontrent respectivement les faces opposées à ces sommets suivant quatre droites qui sont les génératrices d’un même mode de génération d’un hyperboloidc à une nappe. » (Extrait de la Note XXXII.)