THÉORÈME DE CARNOT

s’écrire, conformément aux indications de la figure,

Pj = a — /», p = 0,

P, P — ni, 7 = o,

-sJ

Pe = 7 — m,« = oj

et telles seront aussi, abstraction faite de six coefficients numériques que l’on peut négliger, les distances de ces sommets à une droite quelconque, en fonction des distances • «, (3, y des points de référence à la même droite. Or ces diverses valeurs étant substituées dans l'identité caractéristique^ X,P|==o, l’élimination des multiplicateurs

X,,...,X, entre les six équations obtenues en égalant à zéro les coefficients des ternies en a’, {S1, •/’, ot) 3, (iy, ya., conduit à la formule

mlm,mlm, mt/n, := i :

c’est la relation segmentaire que l’on doit à Carnot (Géométrie de position } p. 4^7) , et c’est aussi le théorème de Pascal. Les équations des points de concours a'. y' des côtés opposés de l’hexagone 1 . . .6, ou P, . . .P» = o, sont effectivement

mls m, p = 7,

et leur produit, membre à membre, se réduit à l 'égalité ni , m , fl») /», ni, ni, — 1 .

391. Mais, sans recourir au calcul et en renonçant au bénéfice des réductions qu’il amène quelquefois, on peut encore, par la seule interprétation de nos identités, obtenir une propriété descriptive de six points d’une conique, susceptible d’être transportée, à peu près dans les mêmes termes, à un groupe quelconque de huit ppints

associés. On a, en effet, les théorèmes suivants :

Les points centraux ries trois divisions en involution déterminées, sur les côtés pairs (ou impairs) d’un hexagone inscrit à une conique, par les traces de chacun de ces côtés sur les côtés opposés du quadrilatère ayant pour sommets les quatre sommets restants de l’hexagone, font toujours trois points en ligne droite.

Car si l’on pose

y>îH->sp;s=c.c\

et que l’on substitue ces valeurs dans l’identité fondamentale

>1PÎ + ...-f-y»«so, elle devient

A. A' 4- B.B' + C.C' ss o, ou encore

Il résulte de cette dernière identité que les segments rectilignes

À.V, BB', CC' forment les trois diagonales d’un même quadrilatère complet ÀBÀ'B'. Les pointsmilieux de ces segments, ou de ces diagonales se trouvent donc en ligne droite. Or il est aisé de reconnaître, dans les extrémités de ces segments, les /saints doubles; dans leurs points-milieux, les points centraux des trois di-

Les points centraux des quatre divisions en involution déterminées, sur les côtés pairs ( ou impairs) (l'un octogone gauche formé de huit points associés, par les traces de chacun de ces côtés sur les faces opposées de l’octaèdre ayant pour sommets les six sommets restants de l’octogone , font toujours quatre points situés sur un même plan.

Car si l’on pose

+ 14PJ s B.B',

\pj+\p;=c.c', >,p’4->,p; = d.d',

et que l’on substitue ces valeurs dans l’identité (n°279)

elle devient

A.A' + B.B’+C.C'+D.D'bo, ou encore

Il résulte de cette identité que les segments rcétilignes AÂ' et BB', CC' et DD' forment les diagonales de deux quadrilatères gauches ÀBÀ'B', CDC'D' dont les côtés font huit génératrices rectilignes d’un même hyperboloïde. Le centre do cet hyperboloïde appartient donc à la médiane de chacun de ces quadrilatères; ces médianes se rencontrent, et les points-milieux des quatre diago-

visions en involution définies dans l'énoncé.

On peut ajouter que les circonférences décrites sur ces trois segments , comme diamètres, ont un même axe radical Çn° 233, p. a63 ).