PLANS TANGENTS

nales AA', BB', CC', DD' tombent dans un même plan. Or il est aisé de reconnaître, dans les extrémités de ces segments, les / joints doubles; dans leurs points-milieux, les p oints centraux des quatre divisions en involution définies dans l’énoncé.

On peut ajouter que les sphères décrites sur ces quatre segments, comme diamètres, ont un meme axe radical (n° 108, p. 10a).

§ II. — Propriétés de six tangentes d'une conique ; de dix plans tangents d’un ellipsoïde.

392. Il nous reste enfin à déduire de nos identités le théorème corrélatif de celui de Desargues et la propriété correspondante des surfaces du second ordre.

Soient, à cet effet,

P(PjPjP<XY = o'

six tangentes d’une conique. Écrivonsl’identité (n° 129, p. 1 3a )

«X’ + iY’-t-^ X,P; = o

à laquelle donnent lieu leurs distances à un point quelconque, et considérons l’hyperbole évanouissante représentée par l’une ou l’autre des équations

(i) «X’ + èY* = 0,

(«') yVî=o.

Soient, à cet effet,

dix plans tangents d’un ellipsoïde, les six premiers quelconques et les quatre autres concourant en un même point . Écrivons l’identité

«X1 4- è Y1 -+- rZl -f- dT7

à laquelle donnent lieu leurs distances à un point quelconque, et considérons l’hyperboloïde évanouissant représenté par l’une ou l’autre des équations

(i) oX1 4- èYJ4- cZ-+- rfT’ = o,

i (,') yVî=°.

Il résulte d’abord, do l'équation (i) et du nombre des axes de référence qui y figurent, que cette conique se réduit à un système de deux droites, réelles ou imaginaires, se croisant au point de concours des axes de référence et harmoniquementconjuguées par rapport à ces axes.

Mais il résulte aussi de la forme de l'équation (i '), que cette conique évanouissante, ou le système de deux droites auxquelles elle se réduit, est conjugué au quadrilatère P, . . .P, formé des quatre dernières tangentes; de telle manière que les sommets opposés de ce quadrilatère soient deux à deux conjugués par rapport au système de ces droites. On a donc ce théorème [fig. 89) :

Il résulte d’abord, de f équation (i) et de la collinéation des quatre plans de référence x,y, z, t, que cette surface se réduit à un cône ayant pour sommet le point de concours de ces plans et conjugué à l’angle solide tétraèdre qu’ils déterminent, de telle manière que deux arêtes opposées quelconques de cet angle solide soient conjuguées relativement à ce cône.

Mais il résulte aussi de la forme de l'équation ( i ' ) , que cette surface, ou le cône auquel elle se réduit, est conjugué à l’hexaèdre P,...PS formé des six derniers plans; de telle manière que les sommets opposés de cet hexaèdre soient deux à deux conjugués par rapport à ce cône. On a donc ce théorème [fis- 89) :

Fig. 89.

Un quadrilatère et un angle étant circonscrits à une conique , les côtés de cet angle et les deux couples de rayons menés, de son sommet , aux sommets opposés de ce quadrilatère, font trois couples

Un hexaèdre et un angle solide tétraèdre étant circonscrits à une surface du second ordre, les arêtes opposées de cet angle solide et les quatre couples de rayons menés, de son sommet, aux sommets o/>-

de droites conjuguées par rapport n une même hyperbole évanouissante qui se réduit à un système de deux droites issues du sommet de l’angle considéré.

posés de cet hexaèdre, font six couples de droites conjuguées par ru pport à un même hyperboloïde évanouissant qui se réduit à un cône du second ordre, de même sommet que l'angle solide considéré.

393. Application. — Étant, donnés neuf plans tangents d'une surface du second ordre on peut déduire, de ce théorème, la construction d'un dixième plan langent; celle du point de contact, de l'un quelconque des proposés, et tous les éléments principaux de la surface.

1). Soient P,, P,, . . . P6, X, Y, Z, les neuf plans donnés et

T, ou xot

un dixième plan que nous nous proposons de mener tangcntiellement à la surface, par le point de concours o de trois d’entre eux, X, Y, Z, et suivant une droite ox, conduite à volonté dans l’un de ces plans X = xoy (fg. 89). Il s’agit d’obtenir la quatrième arête ot de l’angle solide tétraèdre