X.Y.Z.T ou [o,xyzt

Or les arêtes opposées de cet angle solide et les rayons menés, de son sommet o, aux sommets opposés i , 4' ; . . . 4, 4' de l’hexaèdre P, ... P, déterminé par les six premiers plans, font six couples

(R) ol, ol';...; ok, oi': ox et 01, oy et ot

de droites conjuguées par rapport à un môme cône du second ordre. L’arête inconnue ot appartiendra donc simultanément au plan donné tox, et au plan polaire,- que l’on sait construire, de l’arête opposée- uy, par rapport à un cône défini par cinq couples de droites conjuguées.

2). Pour le second problème, et si l’on suppose que le contact du plan Z, ou xoz, et de la surface, se produise

en quelque point de la droite inconnue ot (fig. go), on verra que l’on peut regarder encore les droites

ox et oz, oy et ot

comme les arêtes opposées d’un angle solide tétraèdre circonscrit à la surface et présentant d’ailleurs celte particularité que les plans de deux de ses faces consécutives (zot et tox) se confondent.

Fig. 90.

On aura donc encore, dans le système (R) Ï7, 71' j • . • ; ôV î 0J et ol' ojr ct ot ’

six couples de droites conjuguées par rapport à un même

cône du second ordre-, e^dans la trace sur le plan zox du plan polaire de l’arèlc ô^par rapport à ce cône, l’arête de contact Vt du plan Z, ou zox : c’est-à-dire une première droite issue du point X.Y.Z et renfermant le point de contact l du plan Z et de la surface. Or les mêmes constructions, recommencées après l’échange des plans P, et X 1 un dans l’autre, fourniraient de même une seconde droite issue du point P, .Y .Z et contenant encore le point cherché.

Observation. - Une conique étant définie par cinq couples de points conjugués, on peut construire la polaire d'un point quelconque par rapport à celte conique : c est ce que l’on verra dans le Chapitre suivant.

THÉORÈMES ET PROBLÈMES

THÉORÈMES ET- PROBLÈMES

Sommaire. — Des courbes de l’ordre n — 1 contenues dans une forme homogène du nüme degré, et de quelques problèmes antérieurs. — Des quatre tangentes communes à toutes les coniques conjuguées à quatre couples de droites. — Détermination de la parabole définie par quatre couples de droites conjuguées et du paraboloide conjugué à huit couples de plans. — Constructions diverses du cercle osculaleur d’une conique définie par cinq conditions. — Théorèmes et problèmes sur les surfaces du second ordre. — Construction du neuvième point commun à toutes les courbes du troisième ordre menées par un même groupe de huit points.

§ i. — Des courbes de l'ordre n — i contenues dans une forme homogène du ntemr degré.

394. Ou a vu déjà les propriétés les plus remarquables du quadrilatère et du pentagone résulter d’une manière intuitive de la réduction au premier degré de l’une des

formes quadratiques^ X,PJ = o, ^ J, P’ =o. L’abaissement de certaines formes du troisième ou du quatrième degré au degré immédiatement inférieur semble comporter aussi de nombreux corollaires géométriques, mais dont le développement exigerait sans doute une connaissance plus approfondie des propriétés des courbes d’ordres supérieurs. Le point de départ de la méthode serait d’ailleurs compris dans le principe suivant : toutes les courbes d'ordre n — t contenues dans l'équation homogène du n'e",e degré

forment un faisceau. En particulier, toutes les coniques

contenues en nombre infini dans l'équation

se coupent suivant un même groupe de quatre points ; et toutes les courbes du troisième degré contenues dans l'équation

suivant un même groupe de. neuf points.

395. Pour donner au moins une application de ce théorème, considérons d’abord cinq droites quelconques P,... P5 = o et la conique déterminée définie par l’équation

(i) 3\PÎ=o:

il sera facile de reconnaître que le centre de cette courbe coïncide avec le centre de la conique inscrite au pentagone P, . . . P, = o. Si l’on forme, en effet, les équations des diverses coniques contenant les points de contact des tangentes menées à la courbe (i) par les divers points du plan de la figure; on trouve, par un calcul facile, que toutes ces courbes de contact sont homothétiques entre elles, comme à la courbe cherchée (i); et l’on reconnaît que Y axe radical de deux quelconques de ces courbes passe premièrement par le centre de la conique (i), secondement

par le point de concours de toutes les droites ^ PJ = o,

ou (n° 86) par le centre de la conique inscrite au pentagone P, . . . P6 = o. Le centre de la conique dérivée cubiquemenl de cinq droites coïncide donc avec le centre delà conique inscrite au pentagone formé de ces droites.

396. Si l’on considère, en second lieu, .six droites quelconques P, . . . P# = o et les six coniques dérivées de cinq

d’une droite qui dépend de neuf autres. quelconques d’enlre elles.

on verra, toutes ces courbes appartenant à un même faisceau (n° 394), que leurs centres font six points d’une même courbe du second ordre, lieu géométrique des centres des coniques menées par un même groupe de quatre points. Et si l’on a égard à ce que l’on vient de trouver touchant la position du centre de chacune de ces courbes, on aura ce théorème : Les centres des coniques inscrites aux divers pentagones que l'on v peut former avec six droites quelconques font six points d'une même conique.

397. Il résulte enfin du calcul indiqué au n° 395, que la conique dérivée de cinq droites est homothétique à une autre, laquelle serait conjuguée au triangle formé de trois quelconques d’entre elles, et aurait pour centre le symétrique du point de concours des deux droites restantes par rapport au centre de la conique inscrite. Le cas où la conique dérivée se réduit à un cercle donne lieu à ce théorème : Si 1,2,... 5 désignent les côtés successifs d'un premier pentagone, et 1', 2', ... S' les points de concours des hauteurs des cinq triangles 345, 451,. . ., 234; tous les sommets des deux pentagones 1 2 ... 5 et l'2'. . . 5/ seront symétriques deux à deux par rapport au centre de la conique inscrite au premier, aussitôt que deux de ces sommets 1 2 et i1 offriront celte symétrie.

§ II. — De quelques problèmes plans antérieurs et de leur construction.

398. Le lieu des pôles d'une droite fixe P = o, par rapport à toutes les coniques conjuguées à quatre couples

données, ou la droite X = o que définit l'identité

et dont la construction a été supposée plusieurs fois dans les Chapitres précédents, peut s’obtenir à peu de frais de celte manière.

L’identité qui sert de définition à la droite que l'on cherche donnant lieu aux équations équivalentes

( i) P, Q, -t- fjPi Qj — o,

(i") >sPjQî -+- l.PtQ< -+- P*X = o,

les traces, sur la droite donnée P = o, de la courbe représentée par l’une ou l’autre de ces équations, sont immédiatement assignables 5 car elles coïncident avec les points de commune intersection de cette droite et de deux coniques

(i j L Pi Qi + L PaQa — o,

\(2) hPîQa + ^P^Qi

respectivement circonscrites à deux quadrilatères donnés, et que détermine entièrement la condition que deux de leurs points de rencontre appartiennent à une droite connue P = o. Les points conjugués communs à deux divisions en involution, tracées sur cette droite, et définies respectivement par deux couples de points conjugués, nous fourniront dès lors ces deux points de rencontre; et la courbe (i) se trouvant définie par six de ses points, il en sera de même de la courbe identique (i1) . Or si l’on désigne par 3, 4 et 0 les sommets des angles PSQS, P*Q, et PX ; par 3', 4', 0' les points de concours des polaires de chacun de ces sommets par rapport aux deux angles restants, on sait que la courbe ( i') est conjuguée aux trois couples 33', 44', Ô(V (ti° 151 , p. i56). On pourra donc déduire des six points qui définissent la courbe (i') la polaire du

CONSTRUCTION DE LA COURBE S‘i,P,Q, =0. 4^9

point 3, ou Pj.Qj, par rapport à cette tourbe; c’est-à-dire, un premier lieu géométrique du point coujugué 3', lequel, appartenant aussi à la polaire de ce même point 3 par rapport à l’angle PtQs, se trouve déterminé. Déterminant de même le point 4', on aura, dans 3 et 3', 4 et 4' deux couples de points harmoniquement conjugués par rapport aux côtés de l’angle PX ; et l’on pourra déduire, des traces du premier côté de cet angle sur chacun des segments 33', 44', les traces analogues du second : ou deux points distincts de la droite X que l’on voulait construire. On traiterait de même le problème corrélatif.

Scolie. — Une conique étant définie par cinq couples de droites conjuguées , le pôle correspondant d'une droite quelconque P = o est au point de concours de deux droites que l'on sait construire.

399. Corollaire I. — Toutes les droites X = o qui satisfont, en nombre injini, à l'identité

P, Q, PX = o

passent par un même point que l'on peut déterminer et qui n'est autre que le pôle de la droite P = o par rapport à la conique conjuguée aux cinq couples de droites

P,Q, X. . - X PiQi = o.

-400. Corollaire II. — Lune des coniques contenues dans l'équation

étant, définie par la donnée complémentaire de deux de ses points , on peut construire cette courbe par points de la manière suivante :

Désignons par P = o la corde qui réunit les deux points donnés (Jig. 91) ; par P, et Qv deux transversales indéfinies menées par chacun de ces points; enfin par X = o la

corde qui réunit les deux dernières traces de ces transversales sur la courbe. L'équation de celle-ci pouvant s’écrire

et les deux formes équivalentes (1), (i') entraînant l’iden-

Vx.P.Q!

011 salira construire (n° 398, p. 4^7) la droite X = o définie par cette identité : et l’on aura deux nouveaux points de la courbe dans les traces de cette droite sur les transversales P4 et Qt.

-401 . Corollaire III. — L'une des coniques contenues dans l'équation

étant définie parla donnée complémentaire de trois de ses points a , b , c, on peut encore construire cette courbe par points.

Menons, en effet, par l’un des points donnés c, une