CONSTHUCTIOH DE LA COURBE 2 J À, P, Q

transversale ex, ou Qs = o (fig. 92); et soit x le second point de rencontre de cette transversale et de la courbe.

Fig. 97.

L’équation de cette dernière, rapportée aux côtés nb, bc, ex, ax, ou P, PQiX = 0, du quadrilatère inscrit résultant, pourra s’écrire (•') >,P4Qi+PX=«;

et comme les formes équivalentes (1), (1') entraînent l’identité

(2) Vi.P.Q, -4-PX=o,

un problème déjà résolu (n° 399) permettra d’obtenir le point d’intersection £ de toutes les droites X qui satisfont à cette identité ; et le quatrième côté du quadrilatère inscrit abex sera connu par deux de ses points a et £.

402. Corollaire IV. — Une conique étant définie par un triangle abc et. deux couples de points conjugués mm.', un1 -, nous avons regardé comme connues les fieux traces x,y de la courbe sur une droite quelconque ( n° 320, p. 334) Elbîcli veme nt si l’on a égard aux cinq couples de points conjugués qui résultent des données de la question,

on voit que les traces de la courbe sur une droite quelconque xj doivent satisfaire aux deux identités langen-

lielles

(i) AB 4- BC -+- CA 4- MM' = «X1 -l- bY\

(a) AB + BC+ CA + NN'==u'Xî-+-*'Y’.

Or si ayant pris arbitrairement sur la droite xy deux points quelconques £', on pose les identités auxiliaires

(4) a'X’+b' Y»=ÇV; les précédentes pourront s’écrire

(i') AB -t- BC -t- CA h- MM' = ÇÂ,

(a') AB + BC -4- CA +■ NN' = Ç'Â' ;

et la construction corrélative de celle du n° 398, permettant de déterminer chacun des points n, W, on connaîtra deux segments rectilignes £«, £'ï?' harmoniquement conjugués l’un et l’autre au segment formé des deux points X et Y que l’on cherche. Donc, etc. Telle serait du moins la construction pour le cas le plus général d’une conique définie par cinq couples quelconques de points conjugués . Mais, dans le cas actuel, trois de ces couples résultent des sommets d’un même triangle conjugué à la courbe, et cette circonstance permet de simplifier notablement la recherche des points auxiliaires r,, n'. Ecrivant, en effet, les identités (i') et (a') comme il suit :

(i") AB + BC-t-CA — MM'-Mn,

(a") AB + BC-t-CA==NN' -4- ÇV,

on voit que le triangle abc et le quadrilatère m\m' « sont circonscriptihles à une même conique, et qu’il en est de même encore du triangle abc et du quadrilatère n^ n'n'. On connaît d’ailleurs cinq tangentes de chacune de ces coniques, et l’on peut mener à chacune d’elles, parles points

sur l’intersectiow de deux coniques. 463 m, m' ou », n ', deux nouvelles tangentes, lesquelles se couperont respectivement aux points n ou qu’il s’agissait d’obtenir.

403. On sait que l’on peut construire par points, à l’aide du théorème de Desargues, une conique qui serait assujettie à passer par un point o donné explicitement et par les quatre points de rencontre de deux coniques non tracées, mais définies l’une et l’autre par cinq points. Une transversale quelconque oo' , issue du point donné o, coupe, en effet, les trois courbes suivant trois couples de points en involution, a, a '; h, b'-, o, o'; et les cinq premiers de ces points déterminent le sixième. On peut donc, dans certains cas, utiliser les quatre points de rencontre de deux coniques, indépendamment du tracé de ces courbes; et c’est ce qui arrive toutes les fois que ces quatre points entrent d’une manière collective dans la question. S’il en est autrement, le tracé des deux courbes devient nécessaire; et l’on ne peut s’en dispenser que dans le cas où deux de leurs points d’intersection seraient connus à priori ( fig. 93).

Fig. 93.

Les deux courbes étant rapportées, dans ce cas, aux côtés de deux quadrilatères inscrits, abcd et nbc'd\ par des équations de la forme

( 1 ) AC + BD — o,

(2) AC' + BD = o,

on voit que ceux de leurs points de rencontre qui demeu-

relit inconnus appartiennent à la droite (3) C — C' = o,

laquelle est connue déjà par un de ses points : o = C = C', ou cd c' d' . Or on peut obtenir un second point de cette droite, c, <7, c\d\ , à l’aide de deux nouveaux quadrilatères inscrits abcid , et abc\d\.

§ III. — Des quatre tangentes communes à toutes les coniques qui admettent, quatre couples communes de droites conjuguées.

404. Une série de coniques inscrites A un même triangle A . b . C = o, et conjuguées à un système donné de. deux droites, PQ = o, admettent une quatrième tangente commune que l’on peut construire, et qui n’est autre que la droite X = o définie par l’une des identités suivantes (n° 175, p. 178) :

a A1 -h A B1 H- cC’ 4- PQsX1,

« A’ 4- AB’ + cC’ — X’=PQ.

Or il résulte de la dernière que les droites données P et Q divisent harmoniquement chacune des trois diagonales aa, £(3, cy de la figure formée du triangle A. B.C et de la droite inconnue X (n° 231, p. a6a). Les extrémités a cl a, b et (3, c et y de ces diagonales se trouvent donc conjuguées deux à deux par rapport au système P.Q = o; et si l’on construit, relativement au système de ces droites, les polaires des divers sommets a , b , c du triangle donné, leurs traces respectives sur les côtés opposés de ce triangle fourniront trois points a, (3, y de la droite X.

405. Une série de coniques ayant deux tangentes communes, o = A-= B, et deux couples communes de droites conjuguées P, Q, = o, P,Q, = o, toutes ces courbes ont