DES CONIQUES CONJUGUÉES A 4 COUPLES DE DROITES

encore en commun deux nouvelles tangentes que l’on peut construire et qui sont fournies par les deux solutions que comporte l’identité suivante

(1) PiQi -+- P,Qj = aAJ ■+■ 6B’-t- Xs.

Le point de concours x des polaires du point o = A = B, par rapport à chacun des angles (P1Q1) ou (P,Qj), appartient donc, en premier lieu, à chacune des deux droites X, ou X, que l’on cherche et que définit cette identité. D’ailleurs, si l’on considère le triangle ayant pour sommets les points de concours des diagonales et des côtés opposés du quadrilatère P,PjQ,Q,, et que l’on désigne par A', B', C' les côtés de ce triangle, on aura identiquement

(2) P, Qi •+- P,Q, = a' A'1 ■+■ b' B'5 + c'C'1; et si l’on remplace l’identité (i') par la suivante (1, 2) a' A'’-t- b' B'1 -+- c'C'1 = a A’ -t- ÔBJ -1- XJ, on conclura de celte dernière que les droites

A', B', C\ A, B et X

sont tangentes à une même conique : ou que les deux droites cherchées X, et X, coïncident avec les tangentes raeuées à une conique déterminée, par le point déjà déterminé x.

406. On peut encore obtenir par le seul emploi de la règle et du compas les quatre tangentes communes à toutes les coniques qui admettent quatre couples communes de droites conjuguées , lorsque deux de ces couples ont une droite commune.

Les tangentes cherchées ne sont autres, dans ce cas, que les différentes droites X = o définies par l’une des identités

AB + AC -4- MM' -+- PP' -+- XJ = o,

MM'-t-PP' = A(B-+- C) +X1.

Or les équations équivalentes dans lesquelles se dédouble la dernière représentent une conique, circonscrite premièrement au quadrilatère MPM'P', tangente en outre à chacune des droites A = o et B-+-C = o(la première qui est donnée, la seconde qui n’est encore connue que par l’un de ses points o = B = C) et les louchant l’une et l’antre en deux points situés sur l’une des droites X que l'on cherche. Mais celle conique définie par quatre points et une tangente A, est susceptible de deux déterminations distinctes, auxquelles correspondent deux points de contact distincts, x, ou x,, de la courbe sur sa tangente A. Prenant donc alternativement chacune de ces coniques et déterminant leurs points de contact respectifs ou

sur les tangentes que l’on peut mener à l’une et à l’autre par le point BC = o ; on aura, dans les droites

et If, Ç,x3 et

les quatre tangentes communes à toutes les coniques que l’on considérait d’abord.

407. Le cas d’une série de coniques ayant un triangle conjugué commun , ABC = o, et une couple commune de droites conjuguées, PP' = o, rentre dans le précédent : et les quatre tangentes communes à toutes les coniques de la série, ou les quatre déterjni nations de la droite X = o définie par l’identité

(i) AB -t- BC -4- CA = PP1 ■+■ X’,

sont fournies par les cordes de contact de l’angle donné

et de chacune des quatre coniques menées tangentiellcment aux côtés de cet angle par les trois sommets du triangle ABC.

408. Si les droites conjuguées P et P' se confondent, l’identité précédente devient

\i') AB.-f BC + CAslP1 + X!.