DES 4 TANGENTES COMMUNES, ETC

Les équations

AB -4- BC + CA = o, XP’+X1 = o représentent dans ce cas une seule et même conique, circonscrite encore ati triangle ABC et composée de deux droites harmoniquement conjuguées aux côtés de l' angle PX. D’ailleurs comme ces deux droites doivent contenir les trois sommets de l’angle donné, l’une d’elles tombe nécessairement dans l’un des côtés A, ou B, ou C de ce triangle; la seconde réunissant le sommet opposé, BC, ou CA, ou AB à la trace de la droite P = o sur ce côté.

Si la droite P = o disparail à l’in fini, on retrouve ce théorème : Toutes les paraboles conjuguées à un même triangle s'inscrivent d'elles-mémes au triangle médian du proposé (Mention).

Le problème corrélatif se pourrait traiter de la même manière; mais il est inutile d’y appliquer le calcul : les seules définitions du pôle et de la polaire pouvant donner, à priori, tout ce que l’on cherche. On voit effectivement que si l’on connaît un triangle conjugué et un point de la courbe, ou en connaît aussitôt trois autres points respectivement situés sur les droites qui vont du premier aux différents sommets du triangle donné.

409. Scolie. — Les parabuloïdes conjugués à un tétraèdre donné s'inscrivent d' eux-mêmes à un groupe déterminé de sept plans qui sont : i° les quatre plans con~ duits à égales distances de l’ un des sommets du tétraèdre et de la face opposée ; 2° les trois plans menés à égales distances de deux arêtes opposées du tétraèdre. C’est ce que l’on voit aisément par la seule géométrie, et c’est aussi l’une des conséquences de l'identité (n° 179, p. 180)

AB -t- BC -+- AC -4- D ( A -4- B + C ) = X P1 -4- X’ == \ +■ X*.

410. Il nous reste à résoudre le problème général ou à déterminer les quatre tangentes communes à toutes les co-

niquas conjuguées à quatre couples de droites AA', . . . , DDL Or les quatre droites de deux des couples données déterminant les côtés opposés d’un quadranglc P, . . . Pt = o conjugué à toutes les coniques de la. série, toutes ces courbes sont comprises dans l’équation tangenliclle (n° 260, p. 287)

(1) >..PÎ . >4P= =0.

Mais comme elles admettent en outre deux autres couples de droites conjuguées communes, CC' et DD', il existe entre les paramètres X,,. . deux relations à l’aide desquelles ou peut exprimer linéairement deux quelconques d’entre eux en fonction des deux autres. On a ainsi, par exemple,

et l’équation précédente pouvant s’écrire (.') x,(p; + «,p> -t- *5pî) -t-M6sp; -h b, p\ -+■ pj) = 0, on y reconnaît l’équation d’une série de coniques inscrites à un même quadrilatère, lequel a pour côtés les. quatre tangentes communes aux deux courbes

(2) PJ -t- o,P* 4- fljPJ =0,

(3) P, 4- èjPJ -+- PJ = o.

D’ailleurs chacune de ces courbes se trouvant définie par un triangle conjugué et deux couples CC', DD' de droites conjuguées, un problème antérieur permet d’obtenir, par la règle et le compas, six tangentes de chacune d’elles (n° 407, p. 466). Leurs quatre tangentes communes, ou les quatre tangentes communes aux courbes de la série primitive, se trouvent donc déterminées virtuellement; et l’on peut définir d’une manière effective, par cinq de ses tangentes, celle de ces courbes qui serait assujettie à toucher une droite donnée.

H etnarqiie 1. — Si l’on ajoute alternativement aux quatre couples données AA',..., DD' la donnée complémen-