Il résulte de l’identité

à laquelle donne lieu le cercle associé de trois couples de droites (n° loi , p. 1 56), et où X, Y désignent deux droites rectangulaires quelconques menées par le centre de ce cercle, que trois couples formées de six droites quelconques, et deux droites rectangulaires quelconques menées par le centre du cercle associé des six droites, font toujours trois

couples de droites conjuguées et deux tangentes à une meme parabole (n° 157, p. 160). Et comme dans toute parabole le point de concours de deux tangentes rectangulaires appartient à la directrice, on peut dire d’une manière équivalente que les directrices de toutes les paraboles conjuguées à trois couples de droites se croisent au centre du cercle associé de ctes droites. De là ce théorème : La directrice de la parabole conjuguée aux quatre couples P, Q, = o, . . . , P*Qt = o coïncide avec le lieu des centres de tous les cercles contenus dans l’équation

et les centres des cercles associés de trois quelconques des quatre couples données, que l’on sait construire, font quatre points de cette directrice.

412. La directrice connue, il reste à déterminer le sommet de la courbe. Regardant, à cet effet, la parabole précédente comme partiellement détinie par la direction de ses diamètres Y = X et les deux seules couples P,Q,, P,Q, ; cherchons d’abord le lieu géométrique des sommets de toutes les paraboles conjuguées à deux couples de droites données, et dont les diamètres conservent une direction donnée, Y = 05 ou seulement, et par rapport à la même série de courbes, le lieu géométrique des pôles d’une droite fixe, X = o, perpendiculaire à cette direction.

D’après un théorème antérieur (n° 160, p. 162), et parce que toutes les paraboles en question admettent quatre couples communes de droites conjuguées, distinctes ou coïncidentes, savoir :

P,Q, = o, P2Q,=o, c Y = o, c1 — o, ce dernier lieu est rectiligne et n’est autre que la droite