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sont dès lors homothétiques ; leur corde commune à distance finie, ou leur axe railical, Y' = o, est donné de direction; et tandis que les diamètres relatifs, dans les deux courbes, à une même direction de cordes, sont simplement parallèles, leurs rliamètres relatifs à la direction particulière Y' se confondent. Or le premier de ces diamètres est déterminé, comme l’hyperbole (2) à laquelle il appartient : hyperbole circonscrite au quadrilatère PjPiQtQ» et dont l'une des asymptotes X = X est connue de direction. On aura donc, dans ce diamètre, que l’on peut construire par le seul emploi de la règle, le diamètre correspondant de la courbe (3), XX' = o; c’est-àdire une droite déterminée passant d' elle-même par le point o==X = X'. Or ce point, qui n’est autre que la trace de la droite X sur le lieu X' des pôles de cette droite par rapport à toutes les paraboles que l’on considérait d’abord, représente le point de contact de cette droite et de l’une de ces courbes, ou le sommet de l'une de ces paraboles .

De là ce théorème : Le lieu des sommets des paraboles conjuguées à deux couples de droites données O = P,Qi = P,Q„ et dont les diamètres conservent une direction invariable Y = o, coïncide avec le diamètre conjugué à cette direction pour une hyperbole qui serait cit-

consente au quadrilatère P, P, Q, Q, et dont l'une des asymptotes serait perpendiculaire à la direction donnée.

Le sommet de la parabole conjuguée à quatre couples de droites résulte immédiatement de ce théorème.

413. Remarque I. — Une série de paraboles de même directrice étant conjuguées à deux droites données, PQ = o, toutes ces courbes s'inscrivent d' elles-mêmes à un angle droit déterminé que l'on peut construire. Et cette remarque fournit une autre construction de l’un des problèmes précédents.

414. Remarque II. — Enfin une dernière détermination de la parabole définie par quatre couples de droites conjuguées résulterait de la recherche du lieu décrit par le foyer d'une parabole conjuguée aux trois couples de droites PiP',, PjP1, , PsP’j* On trouve pour l’équation de ce lieu

P, cosi' -t- P”, cosi, P, sin 1' -t- P', sin 1, cos(t — i')

P, cos2' -t- P1, cos 2, P, sin 2' -t- P', sin 2, cos (2 — 2') =0;

P3 cos3' + P'j cos3, P, sin 3' -t- P j sin 3, cos(3 — 3')

et cette équation représente un cercle qne l’on peut construire.

415. La détermination des éléments principaux du pa- • raboloïde défini par huit couples de plans conjugués peut s’obtenir par des considérations toutes semblables. Ecrivant en effet l’identité

\ P,Q, = XS -t- YJ 4-Z’ — c

à laquelle donne lieu la sphère associée de six couples de plans (n° 164, p. 167) et où X, Y, Z, désignent trois plans rectangulaires quelconques menés par le centre de cette sphère; on en conclut que six couples formées de douze