PARABOLOÏDE CONJUGUÉ A 8 COUPLES DK PLANS

plans quelconques, ef trois plans rectangulaires quelconques mettes par le centre de la sphère associée des douze plans, font toujours six couples de plans conjugués et trois plans tangents à un même paraboloïde (n° 169, p. 172).

Et comme dans tout paraboloïde — -f- - , = ix le point de

concours de trois plans tangents rectangulai res appartient au

plan diagonal x = — on peut dire d’une manière

équivalente que les plans diagonaux de tous les paraboloïdes qui admettent six couples de plans conjugués communs se croisent au centre de la sphère associée de ces plans. Or on sait construire le centre de cette sphère (n° 167, p. 170), on saura donc déterminer par trois de ses points le plan diagonal du paraboloïde détini par huit couples de plans conjugués.

416. Pour en obtenir le sommet nous regarderons le paraboloïde comine partiellement défini par les quatre couples P,Q,,. . et la direction ox de ses diamètres, direction qui résulte du plan diagonal que l'on vient d’obtenir; et nous chercherons d’abord le lieu géométrique des sommets de tous les parabo/oïdes conjugués à quatre couples de plans donnés , et dont les diamètres sont donnés de direction ; ou seulement, et par rapport à la même série de surfaces, le lieu géométrique des pôles d'un plan Jixe, X = o, perpendiculaire à celte direction : problème généralisé de celui du n° 378, et qui pourrait se traiter d’une manière analogue. Mais quoique la solution que nous avons donnée de celui-là paraisse suffisamment simple, elle exige cependant une certaine préparation et laisse subsister entre les données du problème et le résultat un intervalle que le calcul est obligé de remplir. Nous allons voir que l’on peut supprimer cet intervalle et passer, sans aucun calcul, de l’énoncé du problème à la construction dans la~

quelle il se résout. Il suffit pour cela d'utiliser celui de nos théorèmes antérieurs qui définit Je lieu du pôle d’un plan fixe par rapport à toutes les surfaces conjuguées à sept couples de plans (n° 169, p. 172). Les paraboloïdes actuels admettent, en effet, sept couples de plans conjugués communs qui sont, en désignant par c — o le plan à l’infini, par Y et Z deux plans conduits à volonté parallèlement à la direction ox des diamètres,

PiQi = o,..., P<Q( = o, cY = o, cZ = o, c* = o.

Le lieu du pôle du plan X par rapport à tous ces paraboloïdes coïncide donc avec le plan X' défini par l'identité

(1) ^\p,Q, -t-cY -+- cZ +c’ = XX'

quel’on peutécrire,endésignant par Y'un planindéterminé, parallèle à la direction ox, et posant cY -4- cZ -+- c* = Y'.

(1') Vx,P,Q, -t-XX'=Y'.

Les deux surfaces

et

(3) "XX' = o

sont donc homothétiques; leurs plans diamétraux, relatifs à une même direction de cordes, sont parallèles entre eux, quelle que soit cette direction ; et si elle tombe dans le plan radical des deux surfaces, Y' = o, les plans diamétraux correspondants se confondent. Or le plan Y' est parallèle à à la direction ox. Les plans diamétraux conjugués à cette direction se confondent donc en un seul pour les deux surfaces (2) et (3). Mais le premier de ces plans est déterminé comme le paraboloïde hyperbolique (2) auquel il appar-