SOMMET DE CE PAKABOIOÏDE
tient : paraboloïde associé au groupe. (P1Q1}. . PiQv) et. dont l’un des plans directeurs , X = o, est connu de direction. On aura donc, dans ce plan diamétral, que l’on peut construire par la règle et le compas, l’un des plans diamétraux de la surface (3), XX' = o : c’est-à-dire un plan déterminé passant de lui-méme par la droite o = X = X'. Or cette droite , qui n’est autre que la trace du plan X sur le lieu X' des pôles de ce plan par rapport à tous les paraboloïdes que l’on considérait d’abord, représente le lieu des points de contact de ce plan et d’une série de ces surfaces : ou le lieu particulier des sommets de tous ceux de ces paraboloïdes qui touchent le plan X. D’ailleurs le plan diamétral qui contient ce lieu est déterminé et ne dépend que de la direction du plan X, laquelle est invariable, non de la position absolue de ce plan. Et l’on en conclut enfin que le lieu général des sommets de tous les paraboloïdes conjugués aux quatre couples P,Q, = o, . . . , PtQ» = o, et dont les diamètres conservent une direction donnée, coïncide avec le plan diamétral conjugué à celte direction, pour un paraboloïde hyperbolique défini par. une équation de la forme
et dont l'un des plans directeurs (X = o) serait perpendiculaire à la direction donnée.
Si les quatre couples P, Q,,..., PtQ* coïncidaient avec les quatre couples de plans qui résultent des faces opposées d’un octaèdre, le paraboloïde (2) serait circonscrit à cet octaèdre. Dans tous les cas, on en peut obtenir autant de génératrices rectilignes qu’il en faut pour la construction du plan diamétral qui résout le problème. La section du paraboloïde (2) par un plan quelconque X = X parallèle à celui des plans directeurs qui est donné, coïncide effecti-
4j6 chapitre xiv.
veinent avec la droite définie par l'équation
et que l’on sait construire (n° 152, p. 107). Construisant dès lors trois de ces droites, ou trois de ces génératrices; inscrivant ensuite entre la première et la seconde, la seconde et la troisième, la troisième et la première, trois segments rectilignes ab, cd, ef parallèles à la direction ox : on n’aura plus qu’à déterminer les points-milieux m, n, p de ces segments, et le plan mnp résoudra le problème.
§ V. — Constructions diverses du cercle oscillateur d'une conique définie par cinq conditions.
417. La détermination du cercle osculaieur, dans les courbes du second ordre, a été obtenue déjà de bien des manières différentes, et qui remplissent très-suffisamment l’objet du problème, considéré dans ses rapports avec la Mécanique. Peut-être en est-il autrement au point de vue de la seule Géométrie. Car, sans dire rien de la multitude des solutions indirectes que l’on en connaît, les meilleures d’entre les autres ne paraissent pas géométriquement irréprochables : ou la construction y laisse à désirer; ou le mode d’invention, généralement emprunté de l’analyse cartésienne, et réduit dès lors à une vérification. I.a méthode suivante paraîtra peut-être exemple de ces défauts. Purement élémentaire, puisqu’elle est fondée sur la seule notion des sécantes communes à deux coniques, elle est aussi exclusivement analytique. Et la simplicité des constructions qu’elle fournit, la facilité avec laquelle elle les peut modifier, dans chaque cjs, suivant les différentes données du problème, montrent une fois de plus les ressources singulières de l’analyse, même dans ce genre de
DU CERCLE OSCCLATEU R d’uNE CONIQUE. 4?7
travaux que les analystes ont le plus évités, pour lesquels ils nous renvoient d’ordinaire à la Géométrie ; et que l’Analyse, presque toujours, exécuterait mieux, plus rapidement et à moins de frais.
418. Lemme fondamental. — L'équation d' une courbe, du second ordre étant
l'équation r/ucercle osculateur de la courbe, en l'un quelconque de ses points , sera de Informe
T = o désignant la tangente au point d'osculation, et T' = o une certaine droite issue de ce point.
Deux courbes du second ordre osculatrices en un point admettent, en effet, un système unique de sécantes communes, composé de la tangente au point d’osculation et de la corde menée de ce point, qui compte pour trois, au quatrième point de rencontre des deux courbes.
419. Problème I. — Étant donnés quatre points d’une conique et la tangente en l'un d'eux, construire le cercle osculateur correspondant.
Soient ABCD = o le quadrilatère ayant pour sommets les quatre points donnés, et T = o la tangente au point d’osculation o == A = B [fig. 94)- Les équations respectives de la courbe et du cercle étant ici
(S) mAC-i-«BD = o,
et
(S') mAC+ «BD-t- TT' = o,
où T' désigne une droite menée, sous une direction inconnue, par le point d’osculation o, ou par le point de commune rencontre des trois droites o = A = B = T:il
s’agit de construire celui des cercles, contenus dans l’équation (S'), qui est tangent en 0 à la droite T.
Or si l’on substitue, par la pensée, aux coefficients déterminés m, n et à la droite inconnue T' qui figurent dans l’équation (S'), des coefficients arbitraires et une droite mobile, issue de la même origine o que la précédente, et tournant d’une manière continue autour de celle origine : le cercle osculateur ne sera plus que l’un des cercles contenus, en nombre infini, dans l'équation (S'), considérée sous ce nouveau point de vue; mais il participera de la propriété qui leur est commune et qui est telle qu 'ils passent tous par les deux memes points. Soient, en effet,
trois positions quelconques de la droite mobile T', et S, S2 S, = o
les cercles déterminés qui leur correspondent, conformément à l’équation (S'); on aura identiquement
S, = m, AC -t- «, BD + TT, ,
S, == w, AC -4- tf,BD -4- TT,,
S, == ni, AC -4- n, BD -t- TT, ;
et l’on en déduit, quels que soient les multiplicateurs employés,
X, S, -f- X,S, -t- X, S, = ni AC -t- n BD -t- T ( X, T, -f- X,T, -f- X,T, J •
Mais les droites T,, T,, Ts concourant en un même point, on peut disposer des rapports arbitraires X, : X, ; X, de telle sorte que l’on ait identiquement
X, T, -t- X, T, -t- XjT, o.
La relation précédente devient ainsi
X, S, -f- X.S, -4- X , S, ^ m AC -f- 11 BD 1 identité impossible — les sommets du quadrilatère quel-
