Soit, en premier lieu

l'écjuaiion tangenticlle d’une courbe plane quelconque, ou la relation homogène existant entre les distances A, B, C des trois points de même nom, considérés comme points de référence, à l’une quelconque des tangentes de celle courbe. L’une de ces tangentes étant définie par ses trois coordonnées a, b, c, proposons-nous d’obtenir l’équation de son point de contact.

Considérons, à cet effet, en même temps que la tangente (a, h y c), une tangente voisine {a -H à a, b -f- <5 b, c 4- sc), et soit

ni A -+- «B ■+- pC — o

l’équation inconnue du point de concours de ces tangentes, ou la relation existant entre les coordonnées de toutedroite issue de ce point. Deux de ces droites étant les tangentes («, b, c), (a 4- da, b -f- db, c -f- de), l’on aura

ma -t- nb -t- pc =r o, m (a -t- Sa) -4- n [b -f- S b) -I- p [c -t- Je) == o,

ou encore

ma -k- nb + pe = o, ni S a -f- nS b + pSc = o.

Mais, puisque la courbe que nous considérons est déterminée, les coordonnées a, b , c de chacune de ces tangentes sont des fonctions déterminées d’une même variable, par exemple, de l’abscisse x du point de contact; et leurs dérivées respectives par rapport à x, a' . b', c' sont pareillement déterminées. Les coefficients m, n, p peuvent donc être définis par les équations

ma nb -+- pc = o,

Sa

Sb

mrx + nrx+pT*=°-

De là, en imaginant que dx décroisse indéfiniment, et passant à la limite, on voit que la limite du point d’intersection de deux tangentes consécutives, ou le point de contact de la tangente (a, b, c) sur sou enveloppe sera représenté

par l’équation (i) A/n 4- B/i -i- Cp = o

si les coefficients ni, n, p sont choisis de manière à véi ifier les équations

( a ) nm -+- bu 4- cp — o ,

(3) a’ ni 4- b'n 4- c'p — o.

Or, la droite (a, b, c) étant l’une des tangentes de la courbe proposée (o), on a l’égalité

que l’on peut écrire, la fonction f étant homogène :

(a') a/' [a, b, c) b/b + c ft. =o.

La droite [a -+- âa, b 4- $b, . . . ) étant une autre tangente de la même courbe, on a cette autre égalité

/(a -+- Sa, b 4- Sb, c -+- Sc) — /{a, b, r)

d’où, en passant à la limite, et prenant la dérivée d’après la règle relative aux fonctions composées,

(3') fi'/'a (a, b,c)+ b' fb 4- c'fc =o.

Si l’on compare maintenant les équations (a) et (3) aux égalités correspondantes (a') , (3'), on voit que l’on peut passer des unes aux antres en remplaçant, dans les premières, les inconnues ni, n, p respectivement par les nombres^' ,f'b , f'c . Ces nombres forment donc l’un des systèmes de valeurs que l’on peut attribuer à ces inconnues, et leur substitution dans l’équation (î) donne enfin

(2') Kfa{a, è, c) -4- B/; 4- C/; = o.

Telle est l'équation du point de contact de la tangente («, b, c).

■40. Le nombre îles points de référence étant qtiel-

PRÉLIMINAIRES

conque , et l'équation tangenlielle de la courbe (o') /(A , B, C, D, . . . ) = o

demeurant homogène , le point de contact de chaque • tangente (a, b , e, cf, . . .) es7. encore représenté par l ’ équation

(Pluckf.r, System der Analyt. Geom., p. lit).)

•41. Si la fonction f est du second degré , la courbe correspondante est de la seconde classe et aussi du second ordre. Dans ce cas spécial, l’équation du point de contact, symétrique par rapport aux coordonnées courantes A, 13, C et à celles a, b, c de la tangente, peut s'écrire

(t) b, c) -t- B/(; -4- Cft z=o,

OU

{O a (A, B, C) -t- bf'K -f- c/(! = o.

Et si a, b, c désignent les coordonnées , non plus d’une tangente, mais d'une droite tracée arbitrairement dans le plan de la courbe , V une quelconque des équations précédentes représentera encore le pôle de cette droite par rapport à la courbe.

Soient, en effet, a,, les coordonnées de la tau-

gente menée à la courbe ( ftg . i3) par l'une quelconque

Fig. i3.

de ses traces sur la droite considérée (a, b, c). Le point de

contact de cette tangente sera représenté par l’équation

(O a'fk (^’ B» C) -+■ ôi/g ■+■ = o,

et puisque l’une des droites passant par ce point de contact est la droite (a, b , c) elle-même, les coordonnées de celle-ci vérifieront l’équation de ce point, et l’on aura

a, fa {a, b, c) -+- b,fh -4- cj[, — o.

Or cette égalité exprime que la tangente (a, b, c) est l’une des droites passant parle point représenté par l'équation

Les deux tangentes menées à la courbe par ses traces sur la droite (a, b , c) passent donc l’une et l’autre par le point représenté par cette équation, et qui n’est autre que le point de concours de ces tangentes ou le pôle de la droite (a, b, c).

Si celte droite ne coupe pas la courbe, le point représenté par l’équation précédente est encore le point de concours des cordes de contact de toutes les couples de tangentes menées à la courbe parles divers points de la droite (a, b, c), ou le pôle de cette droite.

Car si a,, b,, c, désignent les coordonnées de l une quelconque de ces cordes de contact, le pôle /) de celle corde (/ïÿ. M) pourra être représenté par l’équation

(p) B, C) ■+• Ai/g -+- c,^ = o,

l ie- «4-

P abc

et comme le point p appartient, par définition, à la droite (a, b , c), les coordonnées de celle-ci doivent vérifier celte

PRÉLIMINAIRES

équation, et l’on a

a< f'a (fl> b> c) -+- bJ’b + cl fc = o.

Or cette égalité exprime que toutes les cordes de contact (a,, bt, Ci) passent par le point représenté par l’ équation

btc)-*~ B/4 ■+■ C/J = o.

Donc, etc.

42. Le pôle d’une droite [a, b) par rapport à une conique évanouissante, réduite à un système de deux points A, B, et représentée par l’équation

AB = o.

n’est autre que le conjugué harmonique, par rapport à ces deux points, de la trace de la droite considérée sur la droite qui les réunit. L’équation du pôle de la droite (a, b)

Ab -f- B a = o,

obtenue conformément à la règle précédente, peut s’écrire en effet

La trace de la droite (a, b) sur celle (AB) qui réunit les deux points de référence a, d’ailleurs, pour équation

et 1’

on voi

it que les deux points ± ? = o j sont harmoniquement conjugués par rapport aux deux points de référence A et B.

43. Nous avons admis qu’une courbe de la seconde classe est aussi du second ordre. En général, toute courbe de ta m‘im' classe , ou à laquelle on ne peut mener, par un point quelconque, plus de m tangentes, est de l'ordre in (m — 1 ).

Pour le démontrer, soient a, £>, c les coordonnées

4o CHAPITRE PREMIER.

d’une droite quelconque située dans le plan de la courbe

Considérons l’un quelconque des points de rencontre de cette droite et de la courbe, et soient (voir la Jig. i3, p. 37) Ci les coordonnées de la tangente en ce point , représenté,, dès lors, par l'équation

La droite primitive (a, A, c) passant par ce point, ses coordonnées vérifient cette équation ; l’on a

(') a/a,(a» *(* e>) ■+■ bfb,-+- c/c=°y

et puisque les coordonnées a,, b,, c , forment une solution de l’équation tangenticlle de la courbe, l’on a également

Le. nombre des traces de la courbe proposée sur la droite (a, b, c), ou le nombre des tangentes (a,, bt, c, ) menées à la courbe par ces dilTércntes traces, est donc marqué par le nombre tn(m — 1) des solutions communes aux équations (1) et (a) : l’une du degré in — 1 en — 1 — : l’autre

du degré rn. Donc, etc.