Soit enfin
l'équation tangenticlle d’une surface quelconque , ou la relation homogène existant entre les distances A, B, C, D des sommets d’un quadrangle gauche de référence à l’un quelconque des plans tangents de la surface. L’un de ces plans étant défini par ses coordonnées «, b , c, d, proposons-nous d'obtenir l’équation de son poiulde contact t. Menons, à cet effet, par ce point une courbe tt1 située
PRÉLIMINAIRES
tout entière sur la surface considérée S; et soient
les équations tangeulielles homogènes de la proposée S et de la développable 2 circonscrite à la première suivant la ligne commune tt' . Désignons par a, b, c, d ; a -+- Sa, b -f- S b, . . . les cordonnées des plans tangents communs à l’une et à l’autre surface aux points t, t' de celte ligne; et cherchons d’abord les équations de la droite TT' commune intersection de ces plans, ou de deux points de cette droite, que nous pouvons représenter par les équations indéterminées
(3) A/« -4- B« -t- Cj> -4- D17 = o,
(4) Ap 4- B v -I- C a -t- Dy =: o.
Comme chacun des plans tangents considérés (a, b,c, d), (n -t- Sa,. . .) contient la droite TT' tout entière, et passe dès lors par chacun des points (3) et (4) de cette droite, les coordonnées de ces plans doivent vérifier les équations précédentes, et les coefficients m, », v,..., jusqu’ici indéterminés, doivent satisfaire à ces quatre conditions
am -t- bn -t- cp -+- dq = o , a [i 4- bv -+- cts -f- d% = o,
mSa + nSb + pS c + qSd = o, y.Sa + vSb-\-vsSc + ySd— o.
Or les plans (a, b, c, d ), (a 4- Sa,. . .) étant menés tangentiellement à une surface donnée S par les points t, t' d’une courbe déterminée tracée sur cette surface; les coordonnées a, b, c, d de chacun de ces plans sont des fonctions déterminées d’une seule variable indépendante, qui sera, par exemple, l’abscisse x du point de contact correspondant : et leurs dérivées respectives par rapport à x sont pareillement déterminées. Les précédentes équations de
condition peuvent donc être remplacées par celles-ci
am bn cjj -h dq — o ,
tfp-f-iv + ro -i- d%=z o ,
Sa S b S c S d
Sx Sx Sxr Sx'
Sa S b S c S d
ox Sx Sx SxK
De là, en imaginant que Sx décroisse indéfiniment, cl passant à la limite, on voit que la limite de la droite TT' sqj-a représentée par les équations
(3) Am -t- B/i -t- Cp -+- Dq — o,
(4) Afi + Bv + Co+D^ = n,
si les coefficients ni, n, . . . , u, v, . . . , satisfont aux conditions suivantes :
( 5 ) am -f- bn -+- cp -I- dq — o ,
6) rtf*-+-Av-t-cra-t-</^=o,
(7) a' m -+- b' n ■+■ dp -4- d' q — o,
(8) n'p -4- b' v -t- c'bt -t- d'y — o.
Mais le plan ( a , b , c, d) étant tangent aux deux surfaces (1) et (2), scs coordonnées vérifient leurs équations: et l’on a les égalités
que l’on peut écrire, puisque les fonctions J'e t y sont homogènes,
(5') af'a{a,l>,c,d)+bfb + cf'c -hdfj = o,
(6' ) a ?'( a, b, c, d) -h b y' -4- c y', -t- f/ y'rf = O.
Le plan (« -4- da, & -f- d i. . . . ) étant de même langent
PHÉLIMIKAIRES.
aux doux surfaces (i) et (i), l’on a aussi
fia - f- Sri, b -j- S b,. . .) —f{a, b,. . .)
Sx
f(" + àa, b -+- 8b,. ■ ■) — tf(a, b,. ■ .)
D’où, en passant à la limite et prenant les dérivées d'après la règle relative aux fonctions composées,
il') n'fi («> b> c> il ) +b'f'b + <ffc +d'f'a = o,
(8') a' f'a{a, b , c, cl) -+■ b' <f'b -4- c' qc + d' o.
Or, si l’on compare maintenant les équations (5), (6), (7), (8) au x égalités correspondantes (5'), (6'), (7'), (8'), on voit que l’on passe des unes aux autres en remplaçant, dans les premières, les inconnues ,
respectivement par les nombres
fi {", b, c, d),fb
Ces nombres forment donc l’un des systèmes de valeurs que l’on peut attribuer à ces inconnues, et leur substitution dans les équations (3), (4) donne définitivement
(4') A^+Bjj+C^+Df^o.
Telles sont les équations tan genli elles de la limite de la droite TT', ou de deux points particuliers de cette droitelimite. D’ailleurs, tandis que l’un de ces points (4/) varie avec la surface 2, ou avec la courbe u' que I on a menée arbitrairement par le point fixe /; l’autre, représenté par l’équation (3'), ou
(0 A f'a[a, b, c , d) -f. B/; 4- Cf H- D/; = o,
nç dépend que de la surface donnée S el de celui (a, b,c, d) de ses plans tangents dont on s’est proposé de définir le point de contact t. Et il est aisé de voir, par la géométrie, que le point (3'), ou (t), n’est autre que ce point de contact lui-même ; car la limite de la trace TT', sur un premier plan tangent regardé comme fixe, d’un second plan tangent qui se rapproche indéfiniment du premier, est une droite dont l’orientation varie avec la courbe décrite par le point de contact du second de ces plans, mais qui passe invariablement par le point de contact du premier. Donc, etc.
45. L’ équation tangentielle et homogène d'une surface rapportée à un nombre quelconque de points fixes étant
le point de contact de la su/face et de l'un quelconque de ses plans tangents (a, b, c, d, e,...) est représenté, par l'équation
(0 Af’, (">*> c,d,e,...)-hBfb -+-C/J -t-D/j Efe +...= o.
46. Si la fonction j est du second degré , la surface correspondante est de la seconde classe et aussi du second ordre; la classe d’une surface étant marquée, comme l’on sait, parle nombre des plans tangents que l’on peut mener à celte surface par une droite donnée.
Dans l’hypothèse actuelle, l’équation du point de contact, symétrique par rapportaux coordonnées courantes A. B, C, D et à celles a, b , c, d du plan tangent, peut s’écrire à volonté
(/) a fa (a, b, c, d) b/; + c/; -r d/;= o,
(O <t/;(A,B,C,D) + 4/l+c/;+rf4 o.
En outre, si a, b , c, d désignent , non plus les coordonnées de l’un des plans tangents de la surface, mais
PRÉLIMINAIRES
celles d'un plan quelconque, l' équation précédente représentera le pôle de ce plan par rapport à la surface.
Soient, en effet, a,, bu cu d, les coordonnées du plan tangent mené à la surface par un point quelconque de sa trace sur le plan (a, b, c, d). Ce point, ou le point de contact de ce plan tangent, sera représenté par l’équation
et puisque l’un des plans passant par ce point est le plan (à, b, c, d) lui-même, les coordonnées de celui-ci vérifiant l’équation précédente, on aura
a,f" (a, b, c, ri) -4- bj’h -1- </,/J = o.
Or cette égalité exprime que le pian (a,, b ,, c,, d,) passe par le point représenté par l’équation •
(p) A fa (a, b , c, d) + B fh + C/; + D/; = o.
Tous les plans tangents menés à la surface par les divers points de sa trace sur le plan (a, b, c, d) passent donc par le point ( p ), et celui-ci n’est antre que le pôle du plan (a, b, c, d) par rapport à la surface.
Enfin le point (p) est aussi le point de concours des plans des courbes de contact de tous les cônes circonscrits à la surface et ayant leurs sommets aux divers points du plan (a, b , c, d) : ou le pôle même de ce plan.
Car, si (a,, bt, c,, d, ) est l’un de ces plans de contact, le sommet du cône correspondant sera représenté par l'équation
(p) A e„ d,) + B^-t-C/r' -f- D/J = o, que l’on peut écrire
et, comme l’un do$ plans menés par ce sommet est le plan
(a, b , c, d), on aura
a,/'a [a, b, c, d)-\-b,fb +Ctfc -t- tl,/d — 0.
Or cette égalité exprime que le plan («,, b ,, c,, <7,) passe par le point représenté par l'équation
Donc, etc.
47. Le pôle d’un plan (a, b , c, </), par rapport à une surface évanouissante réduite à une courbe de la seconde classe et représentée par l'équation à trois variables
coïncide avec le pôle, pris relativement à celte courbe, de la trace de ce plan $ur celui ABC des trois points de référence.
L’équation du pôle, déduite de la formule générale, est effectivement
A b, c) -h B f'b C fc — o ,
équation d’un point, situédans le plan ABC des trois points de référence qui entrent seuls dans l’équation de la surface proposée, et dont la position dépend, non du plan même (a, b , c, d) que l’on considère, mais seulement de sa trace (a, b, c) sur le plan des points de référence.
48. Enfin, si par un accident encore plus particulier, une surface de la seconde classe se réduit à un système de deux points réels ou imaginaires, et représentés par l’équation à deux variables
le pôle d'un plan quelconque (a, b , c, d) coïncidera avec le pôle, pris relativement à ce système de deux points, de la trace du plan considéré sur la droite AB qui les réunit. L’équation du pôle, déduite de la formule générale, est
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effectivement
équation d’un point, situé sur la droite AB des deux points de référence qui entrent seuls dans l’équation de la surface proposée, et dont la position dépend, nou du plan même (a, b , c, d ) que l'on considère, mais seulement de sa trace (n, b) sur la droite qui réunit les deux points de référence.
■49. Des réductions semblables à celles des nos 47 et 48 se produisent encore, quel que soit le nombre des points de référence intervenant dans l’équation
de la surface, si tous ces points appartiennent à un même plan.
§ VII. — Des formes principales de V équation d'une courbe du second ordre rapportée à un triangle, un quadrilatère, un hexagone inscrits; à un triangle , un quadrilatère , un pentagone conjugués; et de leurs corrélatives.
50. Les côtés d’un triangle étant représentés par les équations
ABC = o,
les côtés successifs d’un quadrilatère par ABCD = o ,
l’équation de toute conique circonscrite à ce triangle, on à ce quadrilatère, pourra s’écrire
(i) «BC -+• b CK -4- eAB = o;
ou
(a) AC + XBD = o.
La forme (i) donne lieu, en particulier, à une élégante
démonstration du théorème de Carnot (IÎobillier, Annales de Gergonne, t. XVIII, p. 3a4; 1827-28).
51. Les côtés successifs d’une hexagone inscriptihle étant représentés, dans leur ordre, par les équations
iH) (A + D)(B-D)(C + D) (A — D) (B -4- D) (C — D) = o, l’équation de la conique circonscrite est
(3) D’ 4- AB -4- BC -+- CA = o.
52. Les diverses formes (1), (2), (3) conviennent aussi aux équations tangentielles d’une conique inscrite à un triangle, un quadrangle, un hexagone; et la dernière, (3), peut s’appliquer à la démonstration des théorèmes de Stciner , Kirhmann , Hesse , sur Yhexagramme mystique.
53. Définitions . — On sait que deux joints sont dits conjugués , par rapport à une conique, lorsque la polaire de l’un quelconque de ces points, par rapport à la courbe, passe par l’autre; que deux droites sont dites conjuguées quand le pôle de l’une de ces droites est situé sur l'autre. El l’on peut dire commodément, d’un point et d’une droite , qu’ils sont conjugués par rapport à une conique, au lieu de dire que ce point représente le pôle de cette droite par rapport à la courbe.
Un triangle défini par ses trois côtés P, P,P, = o
est dit conjugué à une conique lorsque deux quelconques de ses sommets sont conjugués par rapport à celle conique : chacun des sommets du triangle représente dans ce cas le pôle du côté opposé par rapport à la courbe, et celle-ci est représentée par une équation de la forme
JmUl
;ii. Si les sommets opposés d’un quadrilatère P, P, P, P, = o
PRÉLIMINAIRES
font deux couples de points conjugués par rapport à une conique, nous dirons de meme que ce quadrilatère et cette conique sont conjugués ; et nous verrons plus loin que l'équation de cette dernière peut s’écrire
