Î-REMIÈRE CONSTRUCTION DE CE CERCLE
conque ABCD n’étant pas supposés appartenir à un même cercle — si chacun de ses deux membres ne se réduit séparément à zéro. On a donc, en même temps que o = ni = n, X| S! ■ {- X, S, -f- ).,S, = o ■
Et cette identité exprime que les trois cercles S,, St, S, se coupent suivant les deux mêmes points. Tous les cercles de la série {S') et le cercle osculateur qui en fait partie ont donc un même axe radical ; leurs centres se trouvent distribués sur une même ligne droite, et il suffirait d’obtenir deux points de celte droite, ou les centres de deux des cercles de la série, pour être en état de construire le centre du cercle osculateur et ce cercle lui-même.
Or si l’on fait alternativement
n = o ou m — o
dans l’équation (S'), il résulte, de la situation du point o sur chacune des droites A, B, T, T', T", que les cercles correspondants
(1) S, ~ m AC -4- TT' =o,
(2) S, = n BD -I- TT" = o
ont trois de leurs points en évidence, savoir :
Pour le premier, le point simple y ou C.T = o, et le point double A. T ou A .T' = o, qui n’est autre que le point d’osculation o, suivant lequel ce premier cercle louche la droite A ;
Pour le second, le point simple 5 ou D.T = o, et le
point double B. T ou B. T' = o : ce dernier se confondant encore avec le point d’osculation suivant lequel ce second cercle touche la droite B.
Le problème est donc résolu, et l’on a cet énoncé :
Une conique étant définie par un quadrilatère inscrit  BCD et la tangente en l'un des sommets A B ou o de ce quadrilatère ; pour obtenir le cercle osculaleur de la courbe au point o, on mènera de ce point des perpendiculaires aux côtés adjacents A et B, respectivement limitées, en a et (3, à des perpendiculaires élevées sur la tangente par les traces de cette dernière sur les côtés opposés C et D. Menant ensuite la droite a/3, le segment oo' intercepté par celte droite sur la normale au point considéré
o, représentera le diamètre du cercle osculateur. La solution donnée par M. Chasles ( Traité des Sections coniques,
p. 49) suppose la construction de la formule suivante :
Bo.Ba' CA*
Af>— C,Crt.Ca'BA.Bc'
420. Hcmarque 1. — Il résulte des différences auxquelles donne lieu la représentation analytique de l'axe radical de deux cercles, considérés dans le plan ou sur la sphère, que l’analyse précédente n’est pas directement applicable à la construction du cercle osculaleur d’une conique sphérique. Toutefois, par une singularité digne de remarque, la conclusion légèrement modifiée de celte analyse demeure vraie, sur la sphère comme dans le plan. Et cette môme construction, qui nous fournissait tout à l’heure le diamètre 00 1 du cercle osculaleur d’une conique plane, recommencée sur la sphère pour une conique définie par les mêmes éléments, nous fournirait encore le petit axe 00' d’une ellipse sphérique droite (ou capable d'un angle droit), osculatrice en o à la courbe proposée. C’est ce qu’on aperçoit bien aisément à l’aide d’une projection centrale de la figure :
cas d'use conique sphérique. 43 1
le point de vue étant placé au centre de la sphère, et le plan du tableau n'étant autre que le plan tangent mené par le point o autour duquel se fait la construction. D’ailleurs si l'on considère Y ellipse sphérique droite décrite sur la hase 00 et qui n’est autre que le segment capable d’un angle droit o Mo* s' appuyant sur celte base, les plus simples propriétés des triangles sphériques rectangles permettent d’en déterminer le cercle osculaleur pour l’un ou l'autre des points o, o' . On trouve ainsi, en désignant par R le rayon de ce cercle,
tang 00' — a tang R.
Tel est donc aussi, pour la conique sphérique que l’on considérait d’abord, le rayon du cercle osculateuren fonction de l'arc 00' défini par la construction indiquée; et la même construction, effectuée dans le plan, s’y traduit par la relation analogue
