Remarque 11 . — Les formules connues

R = — — » tang R = cos’ p

tang’ a . tang’ b ,

sinJ/>

se peuvent aussi déduire de la construction précédente, appliquée à un parallélogramme inscrit dont l’un des sommets serait au point d'osculation et dont les diagonales seraient dirigées suivant deux diamètres conjugués.

422. Remarque 111. — Si les axes principaux de la courbe sont donnés de position, et que l’on connaisse eu outre un de ses points m et la tangente correspondante; on substituera au parallélogramme dont on vient de parler un

( * ) Théorie nouvelle, géomélt itfur et mécanique, des lignes à double courbure, 1860, p. 44*

rectangle inscrit: et l’on verra (fg- p5) que si, parles traces de la tangente donnée sur chacun des axes ox et oj , on mène à cette tangente des perpendiculaires res-

Fig. 95.

peclivement terminées en p' et q' à t ordonnée mp et à l’abscisse mq du point de contact, le centre du cercle oscillateur en ce point appartiendra à la droite p' q', laquelle contient aussi le centre de la courbe.

423. Problème II. — - Étant donnés l’un des foyers d’une conique et la directrice correspondante, conslmire le cercle oscillateur en un point donné m de. la courbe.

Soient T = o la tangente au point donné, et T' = o une droite issue de ce point ( Jig. 96) : la courbe proposée S et le cercle oscillateur S; que l’on cherche seront définis actuellement par les équations

(1) S'ssX’-t- YJ — DJ+T.T'=o,

où D = o désigne la directrice donnée et X* -+- Y* la fonction d’un cercle de rayon nul dont le centre est au foyer correspondant.

De la double équation (1) on tire d'abord l’identité (1') S' — (X’ H- YJ) = — D! -t- T. T'.

AUTRES COR STR UCT IONS DU CERCLE OSC.ULATEUR. 4^3

Les équations équivalentes

représentent donc un seul et même cercle S" — inscrit dans

V angle. 'Fr' suivant la corde de contact D = o, ainsi que cela résulte de l’équation (F) — et ayant un meme axe radical avec le cercle osculateur que l’on cherche S' et le Joyer F (X* H- Y* = o) assimilé à un cercle de rayon nul : c’est ce qui résulte de l’équation (a). Les trois cercles

auront dès lors leurs centres en ligne droite. Mais le centre du troisième est au foyer donné F; et il résulte de réfutation (a') que le centre du second S" est au point de concours 9 de la perpendiculaire abaissée du point donné m sur la

Kig. gfi.

directrice, et de la perpendiculaire élevée sur la tangente donnée par la trace de cette tangente sur la directrice. Le centre du cercle osculateur 5' se trouvera donc sur la droite résultante F <f, cl l’on peut énoncer ce théorème :

Le centre du cercle osculateur en un point quelconque m

d'une conique est situé sur la droite qui va, de l'un quelconque des foyers de la courbe, au point de concours de deux droites menées : la première par le point d'osculation ni perpendiculairement à la directrice correspondante ; la seconde, perpendiculairement à la tangente au point d' osculation, par la trace de cette tangente sur la directrice.

424. Problème III. — Étant donnés les asymptotes et un point d'une hyperbole, construire le cercle osculateur en ce point.

La courbe donnée et le cercle que l’on veut construire ont actuellement pour équation

(0) S = XY+i=o,

(1) S'==XY-+-i -t-TT' = o;

et l’on déduit, de cette dernière, l’identité (P) S' — i = XY + TT'.

Les équations équivalentes

(2') XY-l-TT' = o

représentent donc un seul et même cercle — concentrique

au cercle osculateur cherché S', en vertu de l’équation (2)

ANGLES SOLIDES CONJUGUÉS A LA SCDEllE.

— el circonscrit, en vertu de l’équation (a'), au quadrilatère partiellement indéterminé

Ma is l’indétermination de ce quadrilatère disparail devant la condition qu’il soit inscriptible. Son quatrième côté T', que l’on sait déjà devoir passer par le point d'osculation, est antiparallèle à la tangente T par rapport à l’angle des asymptotes ; et l’on a ce théorème ( Jig . 97) :

Le cercle osculatcur en un point quelconque d'une hyperbole est concentrique au cercle qui passerait par les traces, sur les asymptotes, de ta tangente au point d'osculation et d'une droite qui serait menée de ce point dans une direction antiparallèle à cette tangente par rapport à i angle des as •> mptotes.

§ VI. — Des angles solides conjugués à une sphère de rayon nul, et de quelques propriétés du quadrilatère sphérique.

■123. Soient

ABC = 0 et H = o

les équations de quatre plans issus d'une même origine O; les trois premiers de ces plans étant donnés, on peut disposer de la direction du quatrième de telle sorte que l'équation

ïA1 p B* -+- 7C’ -+• À H’ = o

représente une sphère de rayon nul ; et l’on a dès lors l'identité

(1) «A’ -t- pB’ -t-yC’ -t-iH’sV + Y’ -t-ZJ.

Les équations équivalentes

(2) «A1 H- pB3 H- vC> = o,

(2') X’ + Y1 4- Z’ — AHs = o

représentent donc une seule et même surface : un cône de

CH APITRE XIV.

révolution conjugué au trièdre ABC et ayant pour .sommet le point O, pour axe la perpendiculaire 00' abaissée de ce point sur le plan H. La section de ce cône par l’un quelconque de ses plans cycliques, H = h, sera donc un cercle dont le centre devra se trouver sur l’axe 00', puisqu’il s’agit d’un cône de révolution; et au point de rencontre des hauteurs du triangle résultant des traces du plan sécant sur les faces du trièdre ABC, puisque ce trièdre et ce cône sont conjugués. On conclut delà que Taxe du cône (2') coïncide avec la droite de commune intersection des trois plans-hauteurs du trièdre ABC, et que le plan H capable de satisfaire à l’identité (1) est perpendiculaire à cette droite.

426. Soit, en outre, H' = o un plan quelconque parallèle au précédent, l'identité (1) entraînant la suivante

to = «A' -t- p B’ ■+■ 1 0 -I- X H'!

(' ' \ = (X — «)s -H (Y — by -+- (Z — c)’ — r1,

la sphère représentée par l’une ou l’autre de ces équations sera conjuguée au tétraèdre ABCH\ Tout tétraèdre dans lequel le plan de l'une des faces est perpendiculaire à la droite d' intersection des plans-hauteurs du trièdre opposé admet donc une sphère conjuguée; et ses quatre hauteurs se coupent en un même point.

■427. Soient encore ABCD = o les plans des faces d’un angle solide tétraèdre, et aj3yJ = o les plans menés pai le sommet de cet angle perpendiculairement aux droiteshauteurs de chacun des trièdres BCD, CDA, DAB, ABC. La sphère de rayon nul ayant pour centre le sommet de l’angle solide considéré, étant définie par l’une quelconque des équations

(1) â> -1- B> -t- C1 +■ DJ = o,