PROPRIÉTÉ DU QUADRILATÈRE SPHÉRIQUE
où «’ désigne un mulliplu quelconque du carré a’; toutes ces équations sont deux à deux équivalentes. Un a, par exemple, l'identité
a’+B'-AC’ + ffsp’ + C’+D' + À’, que l’on peut écrire
et il résulte de celle-ci que les plans ABCDap = o sont tangents à un même cône du second ordre. Les huit plans analogues ABCD X «Syd = o font dès lors huit plans tangents d'un même cône du second ordre. F.t il est aisé de voir que ce cône est l’un de ceux dont rentière détermination exige seulement la donnée de quatre plans tangents, et que nous dirons inscript ihles, parce qu’on peut leur circonscrire une infinité de trièdres trirectanglcs ; comme il arrive ici pour le cône considéré.
Soient effectivement aa! = o un dièdre droit, circonscrit à ce cône, et a a' a" — o le trièdre trirectangle de même sommet construit sur ce dièdre. Si, entre les identités
(3') À’ + B’+Cl + D,+ », + â'* = o
et
— auxquelles donnent lieu', d’une part, les six plans tangents ABCDaa' = o du cône considéré 5 de l’autre, les deux formes analytiques de la sphère de rayon nul ayant pour centre l’origine — on élimine le carré «'*, l’identité résultante
exprime le contact du sixième plan a." et du cône; et celui-ci admet une infinité de trièdres trircctangles circonscrits, tels que aa.' a.". On a donc ce théorème :
Les côtés A, B, C, D d' un quadrilatère sphérique quel-
conque, et les quatre grands cercles a, fi, y, 5 ay ant pour pôles respectifs les points de concours des hauteurs des quatre triangles formés de trois quelconques des côtés de ce quadrilatère, sont tangents à une meme conique sphérique, inscriptible elle-même à une infinité de triangles trirectangles.
Telle est d’ailleurs la proposition corrélative que :
Les points de concours des hauteurs de chacun des triangles formés des côtés d'un quadrilatère sphérique, pris trois à trois, et les pôles des côtés de ce quadrilatère font toujours huit points d'une même conique sphérique circonscriplible à une infinité de triangles trirectangles.
428. Corollaire I. — Toute conique sphérique inscriptible à un triangle trirectan gle , et inscrite à un triangle donné, touche d' elle-même le grand cercle ayant pour pôle le point de rencontre des hauteurs de ce triangle ;
Et toute conique sphérique, circonscriplible à un triangle trireclangle et circonscrite à un triangle donné, passe, d’ elle-même par le point de rencontre des hauteurs de ce triangle.
429. Corollaire II. — Tout angle solide pentaèdre ABCDE = o qui admet une sphère conjuguée, ou qui est tel, que les plans de ses diverses faces donnent lieu à l'identité
(i) À’-t-B’ + C’+D^ + È'ssX’-t-Y’-f-Z’,
est circonscrit à un cône inscriptible ; et quatre quelconques des faces de cet angle solide suffisent à la détermination de ce cône.
L’élimination de la fonction sphérique X* Y* -+- Z’ entre les identités (i) et
(,) à’ -f- B1 CJ -f- D5 = X2 -f- Y1 + Z’ (n” 427, p. 486)
