DU PENTAÈDRE CONJUGUÉ A LA SPHÈRE

entraîne, en effet, celte autre identité

ou la conclusion que le plan E = o est tangent au cône inscriptible que déterminent les quatre plans tangents A, B, C, D, et dont le contact avec le plan a = o a été reconnu déjà (n°427).

430. Théorème. — Les dix plans menés par chacun des sommets d’un pentaèdre perpendiculairement à l'arête opposée concourent en un même point, et ce pentaèdre admet une sphère conjuguée

(/) o = À’ -4- B1 -+- C5 -4- D’ -+- É’ssX’ -f- Y’-f-Z’ — r*,

si les plans de ses faces sont parallèles à autant de plans tangents d’un même cône inscriptible.

Si, en effet, A'B'CD'E' = o désignent les faces du pentaèdre, transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point XYZ de l’espace, l’une quelconque des identités (»') ou

(/') Â'2-+- B'1 -+- C'* D'1 -t- É': si X2 -+• Y> -+- Z1

entraîne l’autre-, et la dernière, (*/), le tliéorèine énoncé (Corollaire H).

431 . On a vu déjà que tout hexaèdre P, . . . P, = o admet une sphère conjuguée; si l'hexaèdre est inscriptible, le plan radical de la sphère circonscrite et de la sphère conjuguée contient le centre de l'hypet boloïde qui aurait pour génératrices rectilignes les droites d'intersection

des faces opposées de l'hexaèdre. Ces deux sphères ayant, en effet, pour équations

\ >,PJ =o et P, P, -4- P, P, -+- P, P, = o ,

4g° CHAPITRE XIV.

leur plan radical R = o satisfait à l’identité

et représente, par suite, l’un des plans diamétraux d’une surface du second ordre inscrite à l’hexaèdre P,...P8 et conjuguée aux trois couples de plans P,P4, PtP5, PSP8. D’ailleurs le point de contact de celte surface et de chacun des plans P,, P, appartient à la fois à ce plan et à son conjugué P4 ou Pf . Chacune des droites P,Pt,P2P5, P3P8 se trouve donc conjuguée à elle-même par rapport à la surface dont il s’agit : et celle-ci n’est autre qu’un hyperboloïde passant par chacune de ces droites (n° 168, p. 172).

§ VII. — Théorèmes et problèmes divers sur les surfaces du second ordre.

■432. Problème I. — Faire passer un cône du second ordre par un groupe donné de huit points situes, les trois premiers d'une manière quelconque dans l'espace, et. tous les autres dans un meme plan (Lamé, Examen des differentes Méthodes, p. 57).

1). Supposons le problème résolu, et imaginons que le triangle 123 déterminé par les trois premiers points soit projeté, suivant le sommet du cône, sur le plan de la conique C déterminée par les cinq autres (fig. 98). Le triangle résultant 1”2”3" se trouvera inscrit à cette conique, et ses différents côtés passeront par les traces respectives des côtés 12, 23, 31 du triangle primitif sur le plan de cette courbe. Réciproquement si, par ces traces 1', 2', 3’ que l’on connaît et qui sont d’ailleurs en ligne droite, on fait passer les côtés d’un triangle 1"2J,3" inscrit à la courbe C, les triangles 123 et 1“2“3" ayant un axe auront par cela même un centre d'homologie ; et le point de concours des droites de jonction de leurs sommets homologues représentera le

DU cône DU SECOND DEGRÉ DÉFINI, ETC. 49*

sommet de l'un des cônes répondant à la question, ramenée de la sorte à ce problème de géométrie plane : inscrire

Kig. 98.

à une conique donnée un triangle dont les côtés passent respectivement par autant de points donnés, situés en ligne droite.

Telle est au fond la solution de M. Lamé, et l’on voit que le précepte de Desargues, si souvent rappelé de nos jours, et si rarement appliqué, y est oublié une fois de plus; mais oublié, peut-on dire, le plus heureusement du monde. Car si la Géométrie y perdait quelque chose, qu’il est aisé de lui rendre, l’analyse y devait gagner une première solution du problème des triangles pivotants inscrits à une conique (p. 58) : solution extrêmement remarquable, peu remarquée, sans doute parce qu’une sorte de divination qui y supplée à toutes les insufGsanecs de l’instrument cartésien, la rend difficile à suivre, même à la suite de l’auteur; mais qui soulève la question de savoir si tout sera bénéfice pour les géomètres dans les progrès de la Géométrie et le perfectionnement de ses méthodes, et s’ils n’y perdront pas les belles violences où les jette parfois un obstacle imprévu, qu’ils n’auraient garde d’emporter, comme ils font d’ordinaire, s’ils savaient d’avance qu’ils le peuvent tourner.

a). Revenons à notre problème, et puisque le cône que l’on cherche doit contenir la courbe C et chacun des points

1, 2, 3, observons que chacune des génératrices menées du sommet de ce cône aux points \, 2, 3 devra s’appuyer sur cette courbe, et ce sommet appartenir à chacun des cônes de sommets respectifs 1, 2, 3 et de base commune C, ou à leur commune intersection. Or deux quelconques de ces cônes (1, C), (2, C) ayant une courbe d’entrée plane, leur courbe de sortie est plane également ; et la détermination du plan qui la contient résulte aussitôt de la méthode ordinaire.

Si, en effet, par la trace 3' de la droite des sommets sur le plan de la courbe de base C ( fig . 99) 011 mène uue transversale 3 ' ab rencontrant cette courbe aux points a et b ; que l’on mène ensuite les génératrices 1 a et 2 b qui se coupent en s', 1 ô cl qui se coupent en a: les points s, s' obtenus de la sorte appartiendraient au plan de la courbe de sortie des deux cônes considérés. Mais il résulte de cette construction que la droite ss' n’est autre que la polaire du point 3' par rapport au système (i'i a, s'2ô). La droite ss1 passe donc par les conjugués harmoniques du point 3' par rapport aux deux

Fig- 99-

couples (l, 2) et (a, b). Or le premier de ces points est fixe, le second se meut sur la polaire P du point 3' par rapport à la courbe C ; et tous les points s, s1 appartiennent au plan déterminé par la droite P et le conjugué harmonique du point 3' par rapport au segment 12. Tel est donc le plan