DÉTERMINATION DU SOMMET DE CE CÔNE

de la courbe de sortie des deux premiers cônes (1, C)

et(i,C).

Le plan de la courbe de sortie de l'un de ces cônes et du troisième (3, C) s’obtiendrait de la même manière; et les points de rencontre de l’un quelconque d'entre eux et de la droite d’intersection des deux plans obtenus de la sorte fourniraient enfin les sommets S, S' des deux cônes cherches.

433. Remarque /. — Le lieu des sommets des cônes du second ordre passant par un point f, ou 2, ou 3 et une conique donnés, est un cône ayant pour base celte conique et pour sommet le point donné. Les sommets des deux cônes que l’on veut conduire par la courbe C et les points 1,2, 3 seront fournis «lès lors par les doux points S', S" qui, associés à celte courbe, forment la commune intersection des trois surfaces coniques (1, C), (2, C), (3, C). Or le sommet S' ou S" de chacun des cônes cherchés doit appartenir — à la polaire relative à ce cône de la droite l'2'3' commune intersection du plan 1 23 et de celui de la courbe C — ou à la commune intersection des plans polaires des trois points 1', 2', 3'. D’ailleurs chacun de ces plans polaires est déterminé par un point — le conjugué harmonique du point 1', ou 2', ou 3', par rapport au segment 23, ou 31, ou 12 — et une droite: la polaire du point 1', ou 2', ou 3' par rapport à la conique C. La droite d’intersection de ces plans polaires est donc pareillement déterminée; et les traces de cette droite sur le cône de sommet 1, ou 2, ou 3 et de base C, déterminent les sommets des deux cônes cherchés.

Ces dernières considérations, ou leurs corrélatives, s’appliqueraient directement à la détermination du plan d’une conique doublement inscrite à un cône et à un Irièdre donnés.

434. Remarque II. — Si l’on imagine (Jig. 98) le plan 123 rabattu autour de la droite l'2'3' sur le plan de la

courbe C, on pourra effectuer dans celui-ci toutes les constructions que suppose le problème précédent, et en déduire, comme corollaire, la détermination bien connue du premier sommet d’un triangle inscrit à une conique donnée et dont les côtés seraient assujettis à passer par trois points 1', 2', 3' situés en ligne droite.

435. Remarque III . — Si l’on élargit un peu les données du problème précédent, lequel consistait en réalité à faire passer un cône du second ordre par deux coniques ayant une corde commune , on est conduit à cette première généralisation d’un théorème de Moebius :

Une surface du second ordre étant assujettie à passer par deux ellipses données — lesquelles admettent une corde commune réelle ou idéale — et par un point complémentaire M, cette surface est — un ellipsoïde si ce point, est extérieur à l'un des deux paraboloïdes elliptiques qui passent par les deux courbes données et. inléneur à l'autre — un hyperboloïde, à une ou à deux nappes, si le point M est extérieur aux deux paraboloïdes ou intérieur à l'un et à l'autre.

Que si l’on voulait en outre spécifier celui des deux hypcrboloïdes que peut déGnir le point mobile M, il est clair que l’on devrait distinguer d’abord chacune des situations possibles de ce point dans l’un des espaces angulaires compris entre les deux paraboloïdes précédents et les deux cènes du second ordre que l’on peut mener aussi par les deux ellipses données. Observant ensuite que la transition de l’ ellipsoïde à Y hyperboloïde à deux nappes se fait toujours par un paraboloïde elliptique ; celle de Y un des deux hypcrboloïdes à Y autre par un cône : on verrait que la surface définie par le point complémentaire M devient, d’ellipsoïde, hyperboloïde à deux nappes, ou inversement, toutes les fois que le point M traverse l’un des deux paraboloïdes de la série; et que toutes les fois que ce point tra-

THÉORÈME DE MOEBIUS. 4<P

verse i un des deux lônes de la série, la suiface devient, d'hyperboloïde eonvexc, hyperboloïde gauche, ou inversement.

•i3G. Remarque IV . — Si I on imagine une série de coniques circonscrites à un quadrilatère convexe , ABCD = o, et que, considérant celle de ces courbes qui se trouve définie parla donnée d'un point complementaire M(, on la rapporte aux deux paraboles de la série

(2) Z’ -+- T o, par l'équation évidente

Y’ 4- X Zj-T ŸTTx. - Z\ 4- T. ’

les directions asyniptotiques de la courbe considérée se trouvent définies par (équation

ZJ

et sont réelles ou imaginaires suivant que les nombres Yj -+- X0 et Zj-f-T0 sont de même signe ou de signes contraires. Pans le premier cas, le point complémentaire M, est intérieur aux deux paraboles ou extérieur à toutes les deux, et la courbe qu'il détermine est une hyperbole; dans le second, le point M0, intérieur à l'une des deux paraboles, est extérieur à l autre, et la courbe qu'il détermine est une ellipse (Moebius, Der Ra rycenl rische Calcul, 1827, p. 38a). C’est le théorème dont nous parlions tout à l’heure; et c’est encore, si l’on veut, une autre manière d’obtenir les directions diamétrales des deux paraboles circonscrites au quadrilatère ABCD =0. Car si l’on rapporte les côtés opposés de celui-ci aux deux paraboles que l’on cherche, les identités résultantes

AC — Y’ 4- X 4- X (Z* 4- T), BD = Y1 + X + li(Z’ + T)

deviennent, en négligeant la position absolue des droites <|ui y figurent pour 11e voir que leurs directions,

A'C' = Y'J-t- XZ'’, B' D'=Y'* •+- pZ'3 :

et les directions diamétrales cherchées, o = Y' = Z', sont en évidence dans ces dernières (n° 273, p. 397).

437. Remarque V. — Imaginons de même une série de surfaces du second ordre, menées par un groupe donné de huit points, ou par la courbe gauche du quatrième ordre qu’ils déterminent, C4 ; et considérant celte de ces surfaces qui se trouve défnie par la donnée d'un point complémentaire M0, cherchons à en déterminer le genre.

1) . Si la courbe gauche C* admet, d'abord des branches infinies , le problème est aussitôt résolu ; et la série considérée ne contient que des hyperboloïdes .

2) . Supposons donc limitée de toutes parts la courbe gauche donnée, ses traces sur le plan à l’infini seront alors imaginaires toutes les quatre ; et il résulte d’une proposition antérieure (n° 359, p. 4°°) que l’on pourra faire passer par cette courbe deux paraboloïdes elliptiques réels dont les équations, rapportées , si l’on veut, à l'un de leurs plans diamétraux communs , Y = o, pourront s’écrire

Celle des surfaces de la série qui passe parle point complémentaire M0, rapportée à ces deux paraboloïdes, sera donc représentée par l’équation

Ï’+Z! + X Y5 -+- V’ 4- T YÎ+ZJ+X. ~~ YJ v; + t.;

ei le cône asymptote de cette surface, considéré en direction, par la suivante