GÉNÉRALISATION DC THÉORÈME PRÉCÉDENT. 4(J

Or ce cène est réel ou imaginaire suivant que les nombres y: +ZI + X., et YjH-VJ-t-T.

sont de même signe ou de signes contraires : c’est-à-dire suivant que le point M0 est semblablement ou diversement placé par rapport aux deux paraboloïdes de la série. On a donc ce théorème :

Une surface du second ordre étant assujettie à passer par un point M et une courbe gauche du quatrième ordre , limitée de toutes parts, cette surface est : un hypcrboloïde si le point M est intérieur à chacun des deux paraboloïdes elliptiques que l'on peut conduire par ta courbe donnée, ou extérieur à chacun d'eux ; un ellipsoïde, au contraire, si le point M est extérieur à l'un de ces paraboloïdes et intérieur à l’autre.

Dans le premier cas, la séparation en deux genres des hyperboloides, à une ou à deux nappes, qui peuvent correspondre alternativement au point M, exigerait, comme au n° 436, l’intervention des quatre cônes du second ordre que l'on peut conduire par la courbe gauche donnée.

438. Problème II. — Êta nt donnés six points et l'un des plans directeurs, Y = o, d'un paraboloïde hyperbolique, on peut en déterminer autant de génératrices rectilignes que l'on veut et déduire ensuite, de trois quelconques d'entre elles, les éléments principaux de la surface. Soient, en effet,

(1) Vl,P,Q, = o

l’équation du paraboloïde rapporté à l’un des octaèdres construits sur les six points donnés 1,. . et

la section déterminée dans la surface par uu plan quel-

conque Y = i parallèle au plan directeur Y = o. Celte section devant se réduire à une droite, la droite unique et déterminée, définie par l’équation (2), représentera une première génératrice rectiligne de la surface. Or nous avons appris à construire la droite (2), et nous savons qu’elle ne diffère pas du lieu dps centres des coniques conjuguées aux quatre couples l*1, Q' P4Q'(, ou aux

quatre couples rie droites qui forment les traces du plan sécant employé sur les faces opposées de l’octaèdre 1. . .6 (n° 152, p. 137).

On peut d’ailleurs déterminer à priori le second plan directeur Z = o. L’identité