PARA ROI 01 DE PAH 6 POINTS KT 1 PLAN DIRECTEIK

Car si l’on coupe actuellement le paraboloïde par un plan parallèle au plan directeur et issu du sixième plan donné, la section résultante coïncidera avec celle des droites G' = o définies par l’identité

(•') Vp’,P'3 = G',

qui passe par le sixième point, ou avec la droite menée de ce sixième point au centre de la conit/ue conjuguée au pentagone gauche P,...P5 ou au pentagone plan P^.-.P^ (n° 155, p. i5p). F-t nous avons vu que le centre d’une conique définie par un pentagone conjugué est susceptible d’une construction trcs-simple (n° 182, p. s 85 ) .

410. L’explication géométrique de cette dernière construction est d’ailleurs évidente; car tous les paraboloïdes qui ont en commun cinq points et un plan directeur, Y = o, passent par une même courbe gauche du quatrième ordre formée de la droite à l'infini du plan directeur, o = Y = c, et d’une cubique gauche passant par les points donnés et s'appuyant en deux points /, i1 sur cette droite. Les traces /, i', o de celte dernière courbe sur un plan quelconque Y = i, parallèle au précédent, appartiennent par suite à tous les paraboloïdes considérés; et il résulte de la propriété de buit points

d’une cubique gauche, qu’il existe dans ce plan une conique doublement conjuguée au triangle ii'o et au pentagone gauche 1 2. .. 5 ou au pentagone plan déi ivé de celui-là (n° 289, p. 325). Or les deux premiers sommets i, i1 du triangle conjugué ii'o étant à l’infini, son troisième sommet o se trouvera au centre de la conique correspondante : c’est-à-dire au centre même de la conique conjuguée au pentagone gauche P, ... P, = o ou au pentagone plan dérivé P’, . . . F, = o.

5oo

441 . Problème III. — Un cylindre hyperbolique étant dcjini par cinq points 1,...,8 et la direction Y = o de l'un de ses plans asymptotes , la détermination des génératrices de ce cylindre résulte immédiatement du principe dont on vient de faire usage, associé à la propriété (n° 287, p. 3î3) de sept points de toute cubique gauche, et, en particulier, de celle qui se trouve définie par le groupe

(i) 1,2, 3, 4,5 et

où i, i' désignent deux points situés, dans des directions inconnues, sur la droite à l'infini du plan Y = o. La courbe (i) appartient en effet aux deux cylindres que l’on cherche, et leurs génératrices seront connues de direction en même temps que les points t, i' de celle courbe.

Or on sait (n°287, p.,3a3)que le triangle inscrit bit' elle quadrilatère t'2’3'4' intercepté par le plan de cetiiangledans le tétraèdre inscrit 1 23 -i sont toujours circonscriptibleS à une même conique, laquelle est ici une parabole située dans le plan asymptotique issu du point b et inscrite à un quadrilatère connu 1'. ..4'. On mènera donc du point 5 à cette parabole deux nouvelles tangentes 5/, bi', et les droites résultantes fourniront les directions cherchées.

442. Problème IV. — Un hyperboloïde à une nappe étant défini par six points, ou un octaèdre inscrit 1...6, et une génératrice rectiligne G1, si l’on mène par cette dernière un plan quelconque H' et que l’on construise la droite T', lieu géométrique des pôles de la précédente G' par rapport à toutes les coniques conjuguées aux quatre couples de droites qui résultent des traces du plan sécant employé sur les faces opposées de l’octaèdre 1...6 : la droite T' fera une nouvelle génératrice de la surface, et tous les éléments principaux de l hyperboloïde pourront se déduire de deux déterminations successives de cette droite.

HYPERB0I.0ÏDE PAR fi POINTS ET I GÉNÉRATRICE. 5«I Toute section plane de l'hyperboloïde considéré,

est effectivement représentée par une équation de la forme

Les deux droites G', T', auxquelles se réduit la section actuelle, satisfont dès lors à l’identité

YV,q', =3 G'.r',

et cette relation contient à la fois la définition que l’on vient de donner de la seronde génératrice T' (n° 100) et sa détermination graphique (n° 3‘J8, p. 45y).

113. Mais on peut procéder d’une autre manière et prendre pour point de départ l’équation

de l’hyperboloïde rapporté aux plans des angles du pentagone gauche 1 . ..5 formé de cinq des points donnés, l.a section G'. T' = o de l'hyperboloïde par le plan conduit suivant le sixième point et la génératrice donnée G', se trouve alors définie par l’identité

et l’on a par suite une nouvelle génératrice T' de la surface dans la droite menée, du sixième point, au pôle de la droite G' par rapport à une conique située dans le plan sécant et conjuguée au pentagone gauche P, . . .P,, ou au pentagone dérivé P'1...P', (n° 137, p. ifio). Or le pôle d’une droite quelconque par rapport à une conique définie par uu pentagone conjugué peut s’obtenir à l’aide d’une

5oa

construction simple, qui n’exige que l’emploi de la règle ( n° 332, p. 374).

Celle dernière solution du problème devient d'ailleurs évidente si l'on observe que tous les hjrperboloïdcs ayant en commun cinq points et une génératrice rectiligne G', passent d 'eux-mêmes par une même courbe gauche du quatrième ordre formée de la droite G' elle-même et d'une cubique gauche qui s'appuierait en deux points sur cette droite et passerait d'ailleurs par les cinq points donnés. Il reste seulement à associer cette observation à la propriété de huit points d’une cubique gauche (n° 289, p. 3a5).

444. Problème V. — Étant donnés sept points 1,..., 7 et la direction d'une série de plans cycliques d'une surface du second ordre , cette surface est déterminée et l’on peut en obtenir les éléments principaux à l’aide des considérations suivantes :

La surface que l’on veut construire, rapportée à l’octaèdre inscrit formé de six quelconques des points donnés, étant représentée par l’équation

sa section par un premier plan II', parallèle à la direction donnée, et mené par le point 7, est un cercle C' que l’on peut définir par trois de ses points : le point 7 lui-même et deux autres points que l’on sait construire (n° 152, p. 1 5 ^ ) ; car ils forment la commune intersection de tous les cercles, associés des quatre couples de droites interceptées par le plan H' sur les faces opposées de l’octaèdre, et contenus dans l’cqualion

Si l’on coupe ensuite la surface par deux nouveaux plans

ELLIPSOÏDE PAR 7 POINTS ET I PLAN CYCLIQUE. 5o3 H", H'" parallèles au précédent, on déterminera de même deux points et par suite un diamètre de chacune des sections cycliques résultantes : et la droite, menée du centre ’ du premier cercle C', de manière à s’appuyer sur chacun de ces diamètres, repiésentera le lieu des centres de tous ces cercles ou le diamètre conjugué des plans cycliques de la première série.

Enfin, si par l’un quelconque des points donnés et deux quelconques des trois cercles C', C”, Cw maintenant déterminés, ou fait passer deux sphères : leur commune intersection représentera, conformément à un théorème connu, l’un des cercles de la seconde sriie; et l’on pourra déterminer successivement le diamètre, lieu des centres de tous ces nouveaux cercles , le centre de la surface, l’un de ses axes principaux, etc.

Remarque. — Si les points donnés coïncident avec les sept premiers sommets d'un hexaèdre

l*i Qi X P» Qi X P1Q1 — o,

la construction précédente se simplifie encore; chacune des sections circulaires de la surface est immédiatement définie dans son propre plan par une équation de la forme

et l’on y reconnaît le cercle associé (que l’on sait construire) des trois couples de droites

interceptées par le plan de la section sur les faces opposées de l' hexaèdre (n° 151, p. 157).

445. Problème VI. — Étant donnés cinq points et les directions H,, H, des deux séries de plans cycliques d'une surface du second ordre, on peut en obtenir autant de sections circulaires que l’on veut, de l’une et de l’autre

série, à

l’aide des équations comparées

Y\sP,P, = 0

et

pH, H2 — S 1= 0,

où S =

0 désigne une sphère actuellement

que l’on peut déterminer par dix de ses poinls. L’identité

(2) ^'luP.P. + ftH.H.sS

exprime, en effet, que la section de cette sphère par le plan P5 = o est l’un des cercles concourants contenus dans l'équation

Or deux des cercles de la série (2') sont susceptibles d’une construction immédiate, le premier

( 2', ) >.„ P1, P', 4- K P', P’, + l„ P', ly, = O,

qui correspond à 1’hypotlièse fx = o et passe, d'une manière évidente, par chacun des points

le second

( 2 , ) P', (X13P'J 4- XM P', ) 4- p H', H', = o,

qui résulte de l’hypothèse = 0 et qui, devant être circonscrit au quadrilatère partiellement indéterminé

H'.P',.H'1.(X„P', 4-XuP,J,

détermine ce quadrilatère et se trouve par cela même déterminé. O11 aura donc, dans les poinls de rencontre de ces deux cercles que l’on peut construire, les deux points communs à tous les cercles de la série (2'), ou deux points de la section de la sphère S par le plan considéré, P6 = o. Et l’on pourra obtenir de la même manière dix points dis—

ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION CIRC* A l’hEXAÉDRE. 5o5 lincts de celle sphère, qui est dès lors déterminée et dont les traces sur les plans cycliques employés, H,. Il, = o, fourniront ensuite deux des sections circulaires de la surface.

446. Problème VII. — On a vu déjà qu'une surface du second ordre assujettie à passer par les huit sommets d’un hexaèdre est soumise à sept conditions seulement ; et c’-est d’ailleurs par deux conditions complémentaires qu’on exprime qu’u,ne telle surface est de révolution. Ou peut donc se proposer de circonscrire h un hexaèdre donné

Pi Qi X Pj Qi X P> Q> = o

un ellipsoïde de révolution : problème déterminé susceptible, comme nous l'allons voir, de quatre solutions distinctes ; et dont la réalisation graphique suppose seulement le tracé de deux hyperboles équilatères définies chacune par quatre points, ou la détermination préalable des quatre points communs à deux coniques déterminées; tout le reste s’achevant ensuite par la règle et le compas.

i). Si l'on désigne par X’ -t- Y’ -f- Z’ la fonction d’une sphère de rayon nul ayant pour centre le point XYZ, par P = o un plan quelconque perpendiculaire à lVixc, ou la direction générale des sections circulaires de la surface rpte l'on cherche , la question est seulement de satisfaire, par une convenable détermination du plan P = o, à l'identité

(0) xi + Y’ + Z'-.H-l>P'=y'flP,Q,;

ou à la suivante

(1) X> + Y»-l-Z»— X’P*=s Vi.P.Q,,

dans laquelle on a retenu les mêmes lettres pour désigner les plans qui résultent de tous ceux de la figure primitive, transportés parallèlement à eux-mémes autour d une

même origine. Mais l'identité (i) se dédoublant d’ ellemême dans les équations équivalentes

(a) X5 -+- Y1 -t-Z’ — VP* = o,

celles-ci représentent un seul et même cône, de révolution autour d'un axe perpendiculaire au plan cherché P = o, et admettant trois couples connues de rayons conjugués ou de points conjugués, pris arbitrairement sur ces rayons, lesquels ne sont autres que les trois couples de droites associées des trois couples de plans concourants P,Q,, P,Q„ Ps Q, (n° loi, p. iô6). Le plan polaire d’un point quelconque de l’espace (pt .q,, pt.q„ p,.q,), par rapport au cône (a'), ayant en ellêt pour «quation

^ + ?iPi) = o,

le plan polaire d’un point quelconque' o = p, = qt, pris arbitrairement sur l’arête du dièdre formé des deux plans P,, Q, de la première couple, passe par la droite d’intersection des plans polaires de celte même arête par rapport aux dièdres P,Q,, PjQa formés des plans des deux antres couples. Nous avons donc à résoudre d’abord, sur la splière ou dans l’espace, le problème suivant :

Déterminer le pôle sphérique d'un petit cercle défini par trois couples de points conjugués.

Déterminer l’axe d’un cône de révolution, de sommet donné, défini par trois couples de rayons ou de points conjugués.

2). Soient o le pôle, r le rayon sphérique du petit cercle que l’on cherche, et (1,1'), (2,2'), (3,3') les trois couples de points conjugués qui doivent suffire à sa détermination (J‘g. 100).

La propriété fondamentale des pôles et polaires appliquées au point 1 et à sa polaire 1 ’pr, ou la seule considéra-