PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE SPHÉRIQUE
lion du triangle rectangle orl, donne d'abord
il) tang’ r— langol .tango/».
Le triangle rectangle op\' donne ensuite
tang op = tango l'.coso ;
et l’on en conclut
tang1 r = tango 1 . tango 1’ .cos o, ou
(i') 1 -t- tang1 r = 1 4- langol . tang ol' .cos o.
Fig. 100.
5oj
On a d’ailleurs, dans le triangle oll’,
cos 11' = cosol .cos o 1' 4- sin o 1 . sin o 1' .cos o, ou, en divisant par cos ol .cos ol',
77 = 1 4- tang o 1. langol'. cos o.
ol. cosol
Comparant (i') et (a), on en déduit cos 1 1'
' ' cosol.cosol
et par suite
- = i 4- tang5 1
cos 22'
cos 33'
cos 11'
cosol.cosol' cosoi.cos oii' coso3.coso.V
Telle est, relativement aux trois couples données (1 , 1 ') , (2, 2'), (3, 3'), la définition du pôle cherché o. Et si l’on observe que les cosinus des distances sphériques du pôle o aux points 1, V; 2,2'; 3, 3' mesurent les distances orthogonales II,, II',; n„ II',; n3, IT3 de ce même pôle aux plans des grands cercles de la sphère décrits autour de ces divers points comme pôles : on en conclut enfin la situation du point cherché o sur l’une quelconque des quatre génératrices communes aux trois cônes du second ordre définis par les équations suivantes
cos 11' cos 22' cos 33’
Or on connaît à priori quatre génératrices de chacun de ces cônes; ils appartiennent d’ailleurs à la classe de ceux que nous avonsappiAéscqui/alèrescirconscriptib/es ( parcequ’on peut leur inscrire une infinité de trièdres trirectangles) ; et dont la propriété est telle, qu’ils passent d’eux-mêmes par la droite-hauteur du trièdre formé de trois quelconques de leurs génératrices (n° 428, p. 488). On pourra donc définir, par cinq de leurs génératrices, chacun des cônes auxiliaires (T), ou par cinq de leurs points chacune des coniques suivant lesquelles ils sont coupés par un plan auxiliaire quelconque. Et si l’on suppose ces coniques tracées, l’une quelconque des droites menées, de leurs points de rencontre, au sommet commun coïncidera avec la droitehauteur du trièdre formé par les trois autres, et représentera l’axe même de l’un des cônes droits auxiliaires que l’on avait à déterminer; ou la direction de l’axe de l’une des surfaces de révolution que l’on considérait d’abord.
3). La direction de l’axe étant obtenue de la sorte, la section déterminée dans la surface par un plan H perpendiculaire à cette direction n’est autre que le cercle défini par l'équation
AXE DE L’ELLIPSOÏDE PRÉCé.OEST. 5og
ou le cercle associé, que l’on sait construire, fies trois couples de droites interceptées par le plan II sur les faces opposées de l’hexaèdre (n° loi, p. i56). Ou aura donc, par le centre de ce cercle, un point de 1 axe; par ce point, l 'are même de la surface; enfin par les perpendiculaires abaissées sur sa direction, des divers sommets de l'hexaèdre, et rabattues dans un même plan méridien, autant d'ordonnées de la section méridienne qu’il est nécessaire pour sa complète détermination.
La direction de l’axe de l'ellipsoïde de révolution circonscrit à un hexaèdre peut doue, en résumé, s’obtenir de la sorte :
Les faces opposées de /’ hexaèdre étant transportées parallèlement à elles-mêmes autour d' une même origine o, suivant les plans P, et Q,, P, et Q,, P, et Q,, on mène les droites
intersections respectives des plans
P.» Q.i P>> Qi> PnQjj
et l'on construit les intersections respectives ol', o2', »3',
des plans polaires des précédentes ol, oi, o 3, par rapport aux dièdres
P.Q, cl P,Q5, P,Q, et P, Q, , P,Q, et P,Q„ Menant ensuite les plans
II, et II*, respectivement perpendiculaires aux droites ol et ol', II, et n', - » o2 et o2',
II, et n', * . o3 et o3',
et circonscrivant à chacun des angles solides tétraèdres
îilO
un cône équilatère circonscriplible : l'une quelconque des génératrices communes aux trois cônes résultants marque la direction de l'axe de l'une des quatre surfaces qui répondent à la question.
447. Problème VIII. — De semblables considérations s’appliqueraient encore à la recbercbe de Y ellipsoïde de révolution mené par un groupe de sept points situés d'une manière quelconque dans l'espace.
i). Si l’on rapporte effectivement la surface cherchée à l’octaèdre formé de six quelconques des points donnés, l’identité résultante
pourra s’écrire, moyennant une transposition préalable de tous les plans qui y figurent,
et l’équation
(a) Vx.P’.Q', +XP'I = o
représentera une sphère de rayon nul. On sait d’ailleurs qu’une somme de quatre rectangles est toujours réductible en une somme de quatre carrés, et que si R’, . . .R' = o désignent les quatre plans tangents communs à tous les cônes conjugués aux quatre couples F, Q', , . . . , F, Q'4 , on peut poser identiquement (n° 172, p. iy5)
On peut donc remplacer l’équation (a) parla suivante (?•') ^V,Rj’ + XP'*= o;
