F.LLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION DÉFINI PA» 7 POINTS. 5 1 I

et celle-ci représentant toujours une sphère de rayon nul,

on en conclut que le plan P' et les quatre R' R', font

cinq plans tangents d’un même cône équilatère inscriplible (n° 429). Les plans cycliques P' = o de toutes les surfaces de révolution circonscrites à un octaèdre P, Q, X X P*Q* = o admettent donc un cône directeur qui n'est autre que le cône équilatère inscriptihle défini parles quatre plans tangents R',,..., R', ou par les quatre couples de plans conjugués Pt Q'( , . . . , F, Q', . Le problème actuel se trouve donc résolu, et la recherche des plans cycliques des quatre surfaces de révolution que l'on peut conduire par un groupe donné, de sept points ne dépend plus que de la construction des plans tangents communs à deux cônes équilatères inscriptibles respectivement définis par quatre couples de plans conjugués, tels que F, , . . . , P'4 Q'( ; ou seulement de la construction de chacun de ces cônes ; et il est aisé de voir que cette dernière est comprise dans le problème précédent (n°446, p. 5o5).

448. Problème IX. — Étant donnés neuf points d'une surface du second ordre, construire le plan polaire correspondant d'un point quelconque o ( Jig . toi),

Soient A.B.C = o le trièdre ayant pour arêtes les droites menées, du point o dont on cherche le plan polaire, à trois des neuf points a , b , c qui définissent la surface: et { i ) AB BC -4- AC + P Fl ^ o

l’équation de cette dernière rapportée aux faces A, B, C et aux plans des triangles d'entrée et de sortie, p=n=o, du trièdre et de la surface. Il est clair que le problème sera résolu aussitôt que l’on aura déterminé le plan II = o du triangle de sortie aÇiy. Rapprochant à cet effet, de l’équation (i), l’équation

de la surface rapportée à l’octaèdre que déterminent les six points demeurés jusqu’ici sans emploi parmi les neuf données du problème, on a l’identité

AB 4- BC 4" AC 4- P tl = o {

et si l’on y fait

on a encore identiquement

(a') Vp'.Q', 4- A'B'4- P'n' = o.

• Les douze droites F, , Q', , . . . , P'4 , Q', ; A , B' ; P' et II' font dès lors six couples de droites conjuguées par rapport à une même conique, et l’on aura un point de la droite II', ou un premier point du plan de sortie TI = o, dans le pôle

Fig. ioi.

(que l’on sait construire) de la droite P' par rapporta une conique conjuguée aux cinq couples de droites F,Q,,. . F4Q't et A' B'.

PLAN TANCENT AU PAIUB0I.0ÏDE DEFINI, ETC. 5l3

üf). Problème X. — Ktant donnés six points d'un paraboloïdc et la direction de ses diamètres : le plan qui louche la surface en l'un quelconque des points donnés peut s'obtenir à l'aide des considérations suivantes.

I.e paraboloïdc étant rapporté alternativement à un système d'axes quelconques ox, ojr, oz, et à l’octaèdre résultant des six points donnés, les équations qui en résultent

(«') Vp.Q.-o,

entraînent l'identité

Vp,q,=s,

émà\

que l’on peut écrire

ou encore

en désignant par II, II' les fonctions relatives à deux hyperboloïdes partiellement inconnus, mais déterminés et qui passent respectivement par les quatre côtés de l’un des quadrilatères gauches

Pi«Pa*Qi-Qï* Pj.P.QiQ..

Or il résulte de l'identité (2') que les plans polaires d’un point quelconque par rapport aux trois sut faces II, H' et S se coupent suivant une même droite,

P» + Pv = P,;

et cette remarque va nous permettre : premièrement de compléter la définition des deux byperboloïdes II, H'; secondement de déterminer le plan polaire d’un point qucl-

conque m du paraboloïde S, ou le plan tangent au paraboloïde en ce point.

i). Soit, en effet, i le point à l'infini qui représente la direction ox des diamètres. Le plan polaire de ce .point, par rapport au paraboloïde, ne différant pas du plan à l'infini, c — constante = o : les plans polaires du même point, par rapport aux deux hyperboloïdes H, H', sont parallèles entre eux. Or le premier de ces plans contient les points-milieux de deux segments issus du point i, ou parallèles à ox, et respectivement limités aux côtés opposés du quadrilatère gauche PjPjQiQs; le second, les points-milieux de deux segments menés sous la même direction et limités de même aux côtés opposés du quadrilatère P5PtQ3Q*. On a donc, dans ces points-milieux, deux points; dans la droite qui les réunit, une droite de chacun de ces plans polaires; et dans les plans menés par chacune de ces droites parallèlement à Pautre, ces plans polaires eux-mêmes : ou deux plans diamétraux des deux hyperboloïdes dont les centres respectifs se trouveront dès lors aux points de rencontre de l’un de ces plans diamétraux et de la médiane du quadrilatère gauche correspondant Pi PsQiQs, OU PsPtQ3Q;. D’ ailleurs, une fois leur centre déterminé, on peut définir chacun des hyperboloïdes H, H' par trois génératrices du même mode de génération A, B, C, ou A', B', C' : les deux premières qui coïncident avec deux des côtés opposés du quadrilatère correspondant; la troisième, symétrique de l’un des deux autres côtés par rapport au centre de l’hyperboloïde.

2). Soit actuellement m un point quelconque du paraboloïde : les plans polaires de ce point par rapport aux deux hyperboloïdes se couperont suivant une droite située dans le plan tangent au paraboloïde en m, et qu’il suffira de déterminer. Or on peut déterminer trois points de chacun des plans polaires qui la contiennent. Et comme l’hyperboloïde H, par exemple, est défini par les trois généra-

de l’octaèdre circonscrit a l'ellipsoïde. 5 1 5 Irices A, B, C, si l'on mène, du point considéré m, trois droites qui s’appuient respectivement en

a et b, b, et c,, c. et n„ sur deux de ces génératrices

A et R, B et C, C et A ;

les conjugués harmoniques du point /;/, par rapport aux trois segments

ab, b,c,, c,a „

détermineront le plan polaire de ce point par rapport à l’hyperboloïde H. Donc, etc.

430. Problème XI. — Étant donnés un octaèdre circonscrit à une surface du second ordre et te point de contact de l'une de ses faces, on peut déterminer le point de contact de la face opposée à l’aide des considérations suivantes.

L’équation tangentiel/e de la surface, rapportée aux sommets A, B, C, A', IV, C' de l’octaèdre circonscrit donné, étant (fi g. io3)

(l) a AA' -+- p BR' -I- yCC' = O ,

l’équation du point de contact d’un plan tangent quelconque (a, b , c, a ', //, c') sera, comme l’on sait (n° 43, P- 44),

(a) a(n A' -f- a' A) 4- £(£B' + *'B) + 7 (cC -4- PC) = o;

et si l’on applique alternativement celte équation : i° à la face ABC (o = a — b = c, a1, b ', c') ; a° à la face opposée A' IV C' (a, A, c, o = a' = b' = c'), on aura, pour les points de contact t et t' de chacune de ces faces,

(t') a.a.A'-h p.b.B' -hy.c.C = o.

• D’ailleurs si, au lieu des points t, on considère seule-

ment(yïg', ioa) leurs projections respectives 0 ou 6', sur les arêtes opposées BC, B'C' de l’octaèdre; il vient, en faisant A = o dans la première des équations précédentes, A1 = o dans le seconde,

(6') jî.i.B' -+- y.c.C = o.

Soient actuellement TT' la droite d’intersection des plans ABC, A'B'C'; et O, O' les traces de oette droite sur les arêtes BC, B'C'. Comme la définition des points O, O', rapprochée de celle des coefficients b , c, Z>', c' qui figurent dans les équations précédentes, entraîne, d’une part, les proportions

(TB7 ~ (FC7’ OB Ôc’

que, d’autre part, les coordonnées B, C du point 0, celles Fig. 102.

B', C' du point 6' donnent lieu aux proportions analogues

0B — 6C ’ — Fc :

ANALOGIE, ETC. 5lJ

ces coordonnées cl ces cocflicienls pourront être remplacés, dans les équations (0), (6'), par les segments proportionnels qui leur correspondent. On a ainsi

( 6, i p.O'R'.OB + y.O'C'.eC ~o,

(6\ l {LOB ,0'B' -t- y.OC.ô'C' — o;

et l’on en déduit, par l’élimination du rapport £ : y,