Les diverses formes quadratiques

Vx,P? = o

dont la signification nous est actuellement connue, n’étant que des cas particuliers des suivantes

il serait naturel de rechercher la commune définition de toutes les courbes contenues dans l’une ou l’autre de ces dernières équations, les lignes droites ou circulaires qu’elles peuvent contenir, leur nombre, leurs propriétés, leur construction, etc. Toutes ces questions, et leurs analogues dans l’espace, traitées d’une manière convenable, ne présentent qu’une médiocre difficulté. Elles ont cependant des applications fort intéressantes, et nous donneront laclef d’un grand nombre d'analogies remarquables, jusqu’ici non remarquées, entre les polygones et les polyèdres, les courbes et les surfaces du second ordre. Mais nous y trouverons surtout divers exemples de cette expansion singulière, si souvent observée dans l’analyse, dont l’explication

PRÉLIMINAIRES

est peut-être dans la mobilité des signes qu’elle emploie ou dans l’indétermination de sa langue, et qui fait que toute la lumière qu’elle vient de réunir sur un objet, se réfléchit aussitôt sur un autre, souvent fort éloigné du premier. C’est ainsi, comme nous le verrons par la suite, qu’on ne peut connaître le sens de l’équation

Jmmà l

et savoir que toutes les coniques qui y sont contenues admettent trois couples de points conjugués communs que l’on peut construire, sans se trouver par cela même en état de déterminerions les éléments d’un ellipsoïdedc révolution circonscrit à un hexaèdre. De même pour l’équation

et si l’on sait que toutes les courbes qu’elle renferme admettent deux couples de points conjugués communs que l’on peut définir, si l’on s’est mis en état de construire les lignes droites ou circulaires qui y sont contenues, on saura par cela même déterminer les éléments principaux :

D’un cylindre parabolique défini par six points;

D’un hyperboloïde, par six points et une génératrice rectiligne;

D’un ellipsoïde, par sept points et un plan cyclique;

D’un paraboloïde, par six points et un plan directeur, etc.

§ VIII. — Des formes principales de l'équation d'une surface du second ordre rapportée à un tétraèdre, un pentagone gauche, un octaèdre, un hexaèdre inscrits; à un tétraèdre , un pentaèdre, un hexaèdre conjugués; et de leurs corrélatives.