Si

désignent dans leur ordre de succession les plans des angles successifs d'un pentagone gauche, l'équation de toute surface du second ordre circonscrite à ce pentagone pourra s’écrire

(?.) «u P|Pj + an P)P* ^srPsPs ”t* aw P* Pi + ffijPjP,— O.

61. Toute surface circonscrite à un octaèdre hexagonal, dont les plans des faces opposées sont respectivement

(3) o = P,Q,= PaQ,= P, Q, = P,0„ peut être représentée par une équation de la forme

toute surface circonscrite à Y hexaèdre

(4) o = P,Q1 = P3Q, = P,Qs, par l’équation

PRÉLIMINAIRES. 53

enfin, toute surface circonscrite au tronc de pyramide

trian salaire résultant de la section

(5j du trièdre ABC = o par les deux plans DD' = o , par l’équation

(5') «BC + iCA -t- cAB + DD' = o.

62. Les différentes formes (i'), (a'), (3'), (4') relatives aux surfaces circonscrites au tétraèdre, au pentagone gauche, à l’octaèdre ou à l’hexaèdre, conviennent aussi aux équations tangentielles d’une surface inscrite au tétraèdre, au pentaèdre, à l’hexaèdre ou à l’octaèdre.

63. Nous aurons aussi à.utiliser dans la suite l’équation générale des surfaces du second ordre tangentes à deux plans donnés

(6) PQ = o,

suivant une corde de contact donnée (6) o = C = C'.

Soit donc

• (6') aPQ + F(C, C') = o

l’équation cherchée. Comme toute surface du second ordre est coupée par l’un quelconque de ses plans tangents suivant un système de deux droites, réelles ou imaginaires, qui se croisent au point de contact; l’un quelconque des systèmes suivants

doit représenter un système de deux droites réelles ou imaginaires qui se croisent au point PCC' = o pour le premier système, au point QCC'= o pour le second. Et ces deux conditions se trouveront remplies en même temps si la

seule éi|uaiion

représente un système de deux plans, réels ou imaginaires, qui se croisent suivant la droite CC, = o. Nous poserons dès lors

F (C, C') = cC’ 4- c' C” + a •/ CC',

et nous aurons pour l’équation cherchée

(6") aPQ 4-cC’ 4-c'C” 4-2-/CC' = o.

Les surfaces proposées sont d’ailleurs assujetties à six conditions, et l’équation précédente contient trois paramètres indéterminés. Elle a donc toute la généralité que comporie la question. i

64. I.a forme précédente (6") fournit encore Yèquation tangentiel/e d’une surface du second ordre rapportée à deux de ses points

PQ — o

et à la polaire

de la corde qui les réunit.

65. Définitions. — On dit que deux points sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, lorsque le plan polaire de l’un de ces points, par rapporta la surface, passe par l’autre; que deux plans sont conjugués, lorsque le pôle de l’un de ces plans appartient à l’autre; que deux droites en fin sont conjuguées lorsque les plans polaires de deux points de l’une de ces droites passent par l’autre. Et l’on peut dire commodément d’un point et d’un plan, d’un point et d’une droite, d’une droite cl d’un plan, qu’ils sont conjugués au lieu de dire que ce point représente le pôle de ce plan, que cette droite appartient au plan polaire de ce point ou contient le pôle de ce plan.

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