Enfin si deux sommets opposés quelconques d'un hexaèdre

(9) P| Pj Pj P» Pi P, = o

sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, nous dirons encore que l’hexaèdre et la surface sont conjugués; et l’équation de cette dernière pourra s'écrire

69. Les sommets d’un télragone gauche ou d’un tétraèdre étant définis par les équations

l'équation tangenticlle de toute surface conjuguée est encore

Telle serait d’ailleurs la définition normale du télragone ou quadrangle gauche conjugué à une surface, que chacun des sommets de ce télragone représente le pôle correspondant du plan déterminé par les trois autres.

Toute surface conjuguée à un télragone est aussi conju- • guée au tétraèdre construit sur les mêmes sommets.

70. Les sommets d’un pentagone gauche étant définis par les équations

l’équation tangentielle de toute surface conjuguée est de même

et nous dirons d’ailleurs qu’un pentagone gauche est conjugué à une surface du second ordre lorsque le pôle correspondant du plan de chacun des angles de ce pentagone est situé sur le côté opposé.

PRÉLIMINAIRES. 57

La surface représentée par l'équation langentielle (io') peut perdre l’une de ses dimensions et se réduire accidentellement à une conique ; la définition précédente subsiste toujours : le pôle du plan de chacun des angles du pentagone, par rapport à celte conique, appartient encore au côtéopposé ; le pentagone et la courbe sont encore conjugués. Toutefois, comme le pôle d’un plan quelconque par rapport à une conique n’est autre que le pôle de la trace de ce plan sur celui de la conique, 011 pourra dired’une manière équivalente que les traces , sur le plan d’une conique conjuguée, des côtés successifs d’un pentagone gauche déterminent les sommets successifs d'un pentagone plan conjugué à cette conique (n° 55, p. 4.9)-

Etant donné un pentagone gauche conjugué à une conique, cette courbe est déterminée en même temps que le plan qui doit la contenir.

71. Enfin les sommets (d'un hexagone gauche ou) d’un octaèdre hexagonal étant définis par les équations

l’équation langentielle de toute surface conjuguée est encore

et nous dirons qu’un octaèdre est conjugué à une surface du second ordre lorsque le pôle correspondant de chacune des faces de l'octaèdre est situé sur la face opposée, ou que deux faces opposées quelconques de l’octaèdre sont conjuguées par rapport à la surface.

Si la surface représentée par l’équation (12') se réduit à une conique, la môme définition subsiste; mais l'on peut dire d’une manière équivalente, que les traces des faces opposées d’un octaèdre sur le plan d’une conique conjuguée font quatre couples de droites conjuguées par rapport à cette conique.

THÉORIE DE L'INVOLUTIOX.

Sommaire. — Interprétation de l'identité 2 J P, Q, sa o, ou résumé analytique de la théorie de l'involulion.

§ I. — Faisceaux en i évolution .

72. Soient, dans un môme plan et autour d’une même origine, trois couples de droites

PiQ.=o, P; Qi = o, P, Q, = o.

Nous dirons que ces droites sont en involution si elles se trouvent dans une telle dépendance mutuelle qu’il existe une relation linéaire et homogène entre les produits des distances d’un point quelconque du plan de la Jigure aux deux droites de chaque couple : de telle sorte que l'on ait identiquement

P. Qi + lï Pj Q: "t" I] Pj Qa — o.

La fonction équivalente

est alors identiquement nulle, quel que soit le point considéré (x, )); la direction de la sixième droite dépend de celles de toutes les autres; et les quatre premières de.meurant fixes, si la cinquième

tourne d’une manière continue autour de l 'origine, la droite conjuguée

THÉORIE de l’involuttoh. 5g

se déplace en même temps, et le faisceau des droites résultantes est dite/» insolation.

Il est à remarquer, le rayon mobile P, venant se placer sur l’une des droites P, ou P, des deux premières couples, que le rayon conjugué Q, se place en même temps sur la droite correspondante Q, ou Q,; et c'est ce qui résulte des identités spéciales

P) Qi -+-o.P,Q,-t-ls P i Q,=o, o.P,Q, + >.,PiQ..+ XjPjQjSO,

lesquelles expriment la coïncidence des deux droites de la troisième couple avec celles de la première ou de la seconde.

Si, par exemple, les rayons P, Q,, P, Q,, P3 Q3)... sont harmoniquement conjugués par rapport à un même ,y.«tèrne de deux droites AB = o, l’on a

P, Q.ssÀ’-XJB»,