Théorème. — Si par le centre d’un faisceau en

involulion l’on fait passer une conique quelconq

ue

les différentes cordes, interceptées dans celte conique par les différentes couples de rayons conjugués du faisceau, concourent en un même point : le pôle relatif du faisceau et de la conique employée.

Soient, effectivement,

Ci, C„ C3

les cordes relatives aux trois couples de rayons conjugués

Pi Qi> Pi Q» Pj Q> î

et

la tangente menée à la conique auxiliaire, par l'origine du faisceau. L’équation de celle courbe pouvant s’écrire

S ===== PiQi + Cj T,

toutes ces formes sont équivalentes et entraînent, quels que soient les nombres i,, Xs, l’identité

+ -f- XjC.ï).

Mais puisque les droites P, Q,,..., PjQ, sonlen involulion, l'on peut poser identiquement

la relation précédente devient

(4') (1| -t- + i,) S = T ( C, ÀjCj + Cj) ;

et cette identité exige (la courbe auxiliaire S ne se réduisant pas à un système de deux droites) que l’on ait iden-

liqucmeut

THÉORIE DE l’iNVOLUTION .

et

*1+^1 + Aj = O

Ci “I- Ca -f- ^3 C3 = O.

Les trois cordes C,, Ct, Cs se coupent donc en un même point.

75. Corollaire I. — Un faisceau en in solution étant défini par deux couples de rayons conjugués

on, na' ; ob, ob',

les cordes

an', bb'

interceptées par les rayons de chaque couple, dans un cercle quelconque mené par l’origine, se coupent en un point w qui représente le pôle relatif du faisceau. Et, ce pôle obtenu, on en déduit graphiquement (Jig . 1 5 ) :

Fie. i5.

i° Le rayon oc' conjugué à un rayon quelconque oc : en réunissant au pôle « la trace edecc rayon sur le cercle, ct joignant à l’origine o le second point d’intersection d de la droite résultante tacc' et du cercle;

20 Les rayons doubles du faisceau, od , oD : par les tangentes menées du pôle au cercle auxiliaire et les rayons menés de l’origine aux points de contact de ces tangentes;

3° Le système des rayons conjugués orthogonaux : lesquels aboutissent, dans le cercle, aux extrémités du diamètre passant par le pôle;

4° Les deux systèmes distincts de rayons conjugués se counant sous un angle donne : et qui correspondent aux deux cordes que l’on peut mener, du pôle, à travers le cercle , de manière qu’elles soient vues, de l’origine, sous l'angle donné.

76. Corollaire 11. — Deux faisceaux en involution , décrits autour de la même origine o, étant définis respectivement par deux couples de rayons conjugués

oa, oa' ; ob, ob' ; ou on,, oa\ ; ob„ ob\, on pourra déterminer comme précédemment le pôle relatif w ou u,

de chacun de ces faisceaux, par rapport à un cercle quelconque issu de l’origine; et les droites menées, de l’origine,aux points de rencontre de ce cercle et de la droite des pôles &)&>,, représenteront les rayons conjugués communs aux deux faisceaux.

§ II. — Divisions en involution.

77. Considérons encore trois couples de points situés en ligne droite et définis par les équations tangenliellcs

P, Q, zzz o, P, Q, ~ o, P, Q, — o.

Nous dirons que ces points sont en involution s’ils se trouvent dans uuc telle dépendance mutuelle qu’il existe une relation linéaire et homogène entre les produits des dislances d’un point quelconque de la droite (fui les réunit aux deux points de chaque couple, de telle sorte que l’on ait identiquement

La fonction équivalente

M* — F>) [■* — 7.)~L (•*— !h) (* — ?.)+>»(•* — A'jK-* — 7»)

est alors identiquement nulle quelle que soit la position du

THÉORIE DE L’iMVOLBTION. 63

point (a:) sur la droite considérée; la position du sixième point q } dépend de celles de tous les autres; et les quatre premiers demeurant fixes, si le cinquième

décrit la droite donnée, d’un mouvement continu : le point conjugué

se déplace en même temps; et la division résultante est dite

en involution.

78. Un faisceau en involution coupé par une droile quelconque donne naissance à une divisiort en involution. Et réciproquement, les points conjugues d’une telle division, réunis àun point extérieur quelconque, donnentnaissance aux rayons conjugués d’un faisceau. Tous les problèmes concernant une division en involution définie patdeux couples de points conjugués, se peuvent donc ramener aux problèmes analogues, déjà résolus, touchantun faisceau défini par deux couples de rayons conjugués. On saura donc obtenir graphiquement, à l’aide de deux couples de points conjugués : les deux points doubles de la division; le point conjugué à un cinquième point quelconque; le point central de la division, ou le point conjugué au point à l’infini; et les points conjugués communs à deux divisions tracées sur la même droite.