Remarque F. — On démontrerait de même que l'équation

o=y!i,P!sQt

abaisséeau premierdegréà l’aide des coefficients, représente

tous les plans menés par le centre de la surface du second ordre définie parles neuf plans tangents

P( Pj . . .P, “ o ,

ou le système des plans diamétraux de celte surface.

i 0 i. Remarque FJ. — La condition nécessaire et suffisante pour que dix plans

PiPj. . .PjPii ” O)

soient tangents à une même surface du second ordre, est qu'il existe, entre les carrés de leurs distances à un point quelconque, une relation linéaire et homogène

le signe — désignant une identité.

Et si certains plans, au nombre de neuf , ou de huit, se trouvent dans de telles dépendances tpd ils donnent lieu à V une des identités

toute surface du second ordre menée tangenliellemcnt à tous ces plans, moins un, sera cC elle-même tangente au plan que l'on avait omis.

En effet, il résulte d’abord de l’identité (a) que tout plan

mené par le centre de la surface (1 , 2, . . . , 8, 9) peut aussi s’écrire

Y~iio

et passe, dès lors, par le centre de la surface (2, 3,.. .,9, 10) :

propriété de dix plars tahgekts. 9*

(es deux surfaces oui le même centre et huit plans tangents communs ; elles coïncident.

11 résulte, de même, de l’identité (J), que tout plan o = Q=aXJ + ^X,P=

mené par le centre de la surface (P,, .... P8, X) peut aussi s’écrire #

et contient le centre delà surface (P„. . . , P„X) : ces deux surfaces ont le même centre et huit plans tangents communs (P„ . . . , P„, X) ; elles coïncident.

11 résulte enfin de 1 identité (c) que tout plan

o = Q=«XI 4- -4-\ X,P;

Lmà 1

mené par le centre de la surface (Pi, •• s’écrire

o = Q = nX'+ l> Y1 +

.,P,,X,Y) peut aussi

et contient le centre de la surface (P„. . ., P8» X, \ ) : ces deux surfaces ont le même centre et huit plans tangents

communs (P,,..., Pt, X et Y); elles coïncident.

Réciproquement, dix plans tangents d une surface du second ordre donnent toujours lieu à l’identité (fl).

Car l’un quelconque des plans diamétraux Q = o de la surface donne lieu aux identités

ïmd\

et celles-ci entraînent la relation identique

1 Oo . Remarque FIL - II resterait maintenant à dé-

duire de l’équation principale

convenablement interprétée, la construction même du plan général des centres.

Que si, essayant, comme le veut l’analogie, les considérations utilisées déjà dans le problème semblable relatif au lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites, on forme l'équation du plan polaire d’un point quelconque (PuP* ,•••, P-.) par rapport au plan des centres (I) assimilé à une surface du second ordre par l’adjonction du plan à F infini : on trouvera toujours ce plan polaire représenté par l’équation

^■1 P\ Pl -+- hPl Pi 4- ... -t- X;/7, Pj = O ,

et l’on reconnaîtra encore que les rayons vecteurs menés du pôle à ce plan sont divisés en deux parties égales par le pian général des centres. Mais si, plaçant le pôle en l' un des sommets du solide formé par les sept plans donnés, on pose, par exemple,

o —pi — Pu = p-, ,

l’équation du plan polaire correspondant

P. -+- hpi Pi -+- Pt Pj + >./>« P» — o

n’admet plus aucune solution connue. Rien que toujours parallèle au plan des centres, le plan polaire ne nous laisse apercevoir aucun de scs points, et nous n’avons plus, comme précédemment, dans le milieu de la droite qui réunirait ce point au pôle, un point du lieu que nous cherchons. L’analogie parait donc interrompue; mais nous allons voir que l’on peut la rétablir et déduite géométriquement le plan des centres X = o de sa seule équation