CONSTRUCTION DU PLAN DES CENTRES
ou de Yidentitè équivalente
à laquelle il doit satisfaire : pourvu que l’on rompe préalablement la symétrie qu’elle ptésenle par rapport aux sept plans donnés.
A cet effet, et en vue d’une notation plus avantageuse pour la suite du calcul, substituons d’abord, à la fonction P7 du septième des plans donnés, la fonction équivalente P,
Pi = P;
et désignant toujours par X = o le plan inconnu des centres, écrivons, au lieu de l’identité initiale (/„),
— un X
ou
11 résulte de cette dernière que le cylindre / tarabolique représenté par l’une ou l’autre des équations équivalentes
2/JlX,
est conjugue à l’hexaèdre abcda'b'c'd' résultant des six premiers plans donnés : de telle façon que le plan polaire, pris par rapport à ce cylindre, de chacun des sommets <7, b, . . . de l’hexaèdre (P,, . . . , P#) passe par le sommet opposé a1, b', . . .. Et l’on voit, en ell'et, le plan polaire, pris par rapport à la surface (t), d’un point quelconque (/>,, . . . , pe) de l’espace étant représenté par l’équation générale (p. 28, n°28)
À , /A , P, = O OU P, -I- X,/J2Pa -t- . . . -t- >c^cP« = o,
que l’équation du plan polaire de l’un quelconque des
sommets o = />, = p% =s p3 de l’hexaèdre est simplement
Pt P» -4- >s Pt P, -+- Xe p, PG = o :
équation d’un plan passant par le sommet opposé o = P,, = Ps = Pe.
Deux sommets opposes quelconques a et«', b et b', . . . de l’hexaèdre (P, . . . P,,) sont donc conjugués par rapport au cylindre
P1 — a/riX = o.
Et si l’on désigne par P„, P„,, P4, P*,,,. . . les distances de ces sommets au plan donné P = o, parX„, X„-, X4, X4-, . . . les distances des mêmes sommets au plan inconnu X = o ; on aura, entre ces distances et le paramètre /«, les relations
' PaP..= /«(X0-+-X„d,
, , PtP4' — »/(X4 + X4-),
I PePe> = m(Xc-hXy',
. PjPtf — III [Xj-h Xj>),
entre lesquelles, éliminant ce paramètre, on obtient ces trois équations distinctes
/ Xg -t- Xa' X4 -4- X4, X, -i- XP* Xj -f- X,p
p„ p,.' ~ ~pI p4“ — “pTpT- - ~p7fv“ ‘ .
Or les nombres P,„ P„,, Pt, P4 , . . . , qui figurent dans ces équations, étant connus et désignant les distances des sommets opposés a et a', b et b', ... de l’hexaèdre au plan donné P; on voit qu’il existe, entre les distances X„, X„, cl X4, X*,,... de quatre de ces sommets au plan inconnu ou variable X = o, trois équations homogènes du premier degré : équations tangentiel/es qui caractérisent, prises isolément, tous les plans issus d un point déterminé .r,, ou x,, ou x}; et, collectivement, le plan mené par ces trois points ou le plan même X que l’on cherche.
Le problème n’est donc plus que de la définition géométrique du point (enveloppe du plan mobile X) représenté
CONSTRUCTION DU PLAN DES CENTRES. tp
par l’équation tangentiellc
... Xa -4- X„r X4 ~h X(,r
ou [en appelant o, o' ( Jïg . 17) les traces des arêtes opposées ab, a' b' sur le plan donné P, et posant
(/j) P.=ao — a, Pj — bo = b', ! Vj—a'oi — n Pj»=è'o' = 4'],
par celle-ci
dans laquelle a, a', (3, J3' désignent les distances, aux points de référence a, a1, î, b1, du plan variable X, ou les coordonnées tangentielles X„, X„/, Xt, Xj,» de ce plan.
Fig. 17.
