A JA

• — t 1 fl '

Or l’équation (5) est premièrenicntsatisfaite parla double substitution

Tout plan mené par le point milieu a + «' = o de la diagonale aa\ et par celui jS+jS'^o delà diagonale bb', vérifie donc l’équation (5) et contient le point représenté par cette équation. Z,e point (5) est donc situé surin médiane du quadrilatère gauche aba' b'.

Pour trouver ensuite un autre lieu géométrique de ce point, essayons d’un changement de points coordonnés j et puisque le plan P = o (ou P7) entrait d’abord dans les données du problème de la même manière que les plans des diverses faces de l’hexaèdre actuel abcda'b'c'd', substituons aux deux points de référence b , traces des arêtes

ab, a' b' sur le plan bca'd' ou P„ = o de l'une de ces faces, les traces o, o' des mêmes arêtes sur le plan P, on

p = o ( fie • ,8)-

Fig. 18.

Les formules de transformation, empruntées de la relation que l’on sait exister entre les distances mutuelles de trois points en ligue droite («, b, o, ou b', a', o ') et leurs distances respectives (a, (5, w ou Ç>', a', u') à un même plan, seront les suivantes [voir la nutation («)] :

a . fi — b .x -h (a — b) ta , b' .ot' — a' .fi' -h (b' — a') ta' ;

et si l’on transporte les valeurs résultantes de [l et a' dans l’équation (5), elle devient successivement

fl'.S'-t-iê' — a')ta' b. a. -4- ta — b, ta ,,

b' (a ta' ) -+- a’( fi' — ta' ) a ( Ji -+- o) ) -+- b ( a — w) a .b’ .a a .b’ .b

— (a -+- ta' ) -4- fi' — ta' — — ( |3' -+- ta) -+- a — ta ,

— (a -t- ta') — (a -+- ta') = j (P'-t- w) — (p' -+- t>),

ou entiu

(5') (« -t- (— — I j = (P' -t- ta) — I