CONSTRUCTION DU PLAN DES CENTRES
Le point représenté par l’une ou l’autre des équations équivalentes (5), ( 5') , est donc situé aussi sur la médiane o = a -+- w' = j3' 4- (O du quadrilatère aoo'b'. Et Von a un premier point du plan général des centres X = o dans le point de concours des médianes des deux quadrilatères gauches aba'b', aoo'b'. Or, il suffit de jeter un coup d’œil sur la figure pour reconnaître leur mode de formation.
On voit, en effet, que deux arêtes opposées de l’hexaèdre, abo et b'a'o', intersections des plans P,, P, et P3,Pt, reçoivent deux côtés opposés ab et b'a', ao et b'o' de chacun de ces quadrilatères : les deux autres côtés opposés du premier, ab' et ba' , réunissant les traces sur ces arêtes des plans P3 et P6 ; tandis que les deux autres côtés opposés du’ second, ab' et oo' , réunissent les traces des mêmes arêtes sur les plans P3 et P7 ou P = o.
Telle est donc la construction par points du plan des centres de toutes les surfaces du second ordre inscrites au système (P,, Pi, .... P7), et qui rappelle, autant que le permet la diversité des choses, la construction de la droite des centres des coniques inscrites à un quadrilatère :
Les droites 12 et 34, intersections respectives des plans
Fid. 19.
• 4fS*
P, et Ps, P3 et P; ( fi g. 19) étant coupées par chacun des trois autres P ,,PE,P7, suivant les points S' et 5", 6' et 6",
go CHAPITRE III.
7' et 1", on construit les médianes (droites des points-milieux des diagonales) de deux quelconques des trois quadrilatères gauches résultants 5,o,,()/,6', î)'o,/7,,7', G,0,/7//7,; et l'on a, dans le. point de concours de ces droites , un premier point du plan général des centres. Le nombre des points distincts, ijue l’on peut obtenir de la sorte, en permutant de toutes les manières possibles les éléments de cette construction, est égal au triple du nombre des combinaisons de sept lettres prises quatre à quatre, ou trois à trois :
3C:. = 3 ■ 1^4 = 3 . 35 = io5.
' 100. Remarque VI 1 1 . — Le centre p de l’hyperboloïde
à une nappe mené par les trois droites ab' , ba\ oo1, ou le point de concours des médianes des deux quadrilatères ab'a'b, ab'o'o, étant défini (p. 95) par l’équation
a -f- a1 ^ -t- fi a -t- a.' p -t- fi'
a. a' b. b' ao.a'o' bo.b'o'
on peut substituer à celle-ci la proportion équivalente
pm pu
no.a'o' bo.b'o'
ou celte autre
pm no \ bn
pn b'o' ; a'o'
Tel est donc, sur la médiane mn du quadrilatère gauche ab' a' b , le centre p de l’Iiyperboloïde délini par les trois génératrices rectilignes ab\ ba', oo'. Et si, en vue d'une notation plus symétrique, on échange l’une dans l’autre les lettres a', b' de la figure et de la proportion précédentes,
PROPRIÉTÉ DES GÉNÉRÂT. RECT. DE l’h Y PERBOLOÏDE. 99
on voit ( fig . ao) que le centre de l’hyperboloïdc à une
nappe déterminé par les trois génératrices rectilignes na' , bb' , 00'
coïncide avec le point /> défini, sur la médiane nui du quadrilatère abb'a ', parla proportion
nip ao : bn
np a'o' : b' o'
Le théorème relatif aux divisions hoinographiques,ou proportionnelles, déterminées sur deux génératrices rectilignes d’un hyperboîoïde à une nappe, ou d’uu paraboloïde hyperbolique, par les génératrices de l’autre système, est contenu dans celte formule.
Pour le paraboloïde, d’abord, le centre p de la surface
, >np 00 : bn
disparaît a 1 muni : et les rapports — -> —, —, — r-r—, 1 11 np a o : b o
simultanément égaux à l’unité, l’on a
devenant
ao a'n'
~bo b' o'
Et s’il s’agit ensuite d’un hyperboîoïde, on déduit, de la relation ( g ), appliquée à une quatrième génératrice mm',
mp su : bu
np rt'oi' : b' u' ’
lOO
CIIAI'ITAF. 111.
et de !a relation (g) elle-même, l’égalité no'.bo n m ; b «
«V: av = «V:6V‘
On voit que la formule (g) fournit une transformation élégante du rapport anliarmouique - ^°~ °-( dans le rapport
équivalent — dont la ronstructioii exige seulement le
tracé «les médianes (mnp, ni'n'p) des deux quadrilatères plans ou gauclies n/ b'a\ aoo'a' .
107. Remarque IX. — La conslruc lion du plan des centres peut aussi se déduire de quelques considérations de géométrie.
Reprenons, en effet, les plans donnés 1,2, ...,7 {fig. 19), et imaginons un hyperboloïde à une nappe H assujetti à passer par la droite 12, par la droite 31, et à être tangent, en outre, à chacun des plans non encore employés S, 6, 7. Assujetti de la sorte à neuf conditions, cet hyperboloïde est déterminé: et il est aisé de voir que son centre appartient au plan général des centres de toutes les surfaces du second ordre tangentes aux sept plans donnés. En effet, 1 hyperboloïde H est d’abord explicitement assujetti à toucher chacun des plans 5, 0, 7. Comme il passe, en outre, par chacune des droites 12 et 31, il se trouve tangent à tous les plans menés par chacune de ces droites, et, en particulier, aux plans 1 et 2 , 3 et 1; il est donc tangent aux sept plans donnés. Son rentre, d’ailleurs, peut être construit bien aisément. Si l’on regarde, en effet, les droites 12 et 31 comme deux génératrices rectilignes du premier mode de génération de cet hyperboloïde, chacun des plans tangents S, 6, 7 renfermera une génératrice du deuxième mode de génération, rencontrant les génératrices 12 et 31 du premier endos points que l’on peut construire; car ils coïncident avec les traces, sur chacun des plans o.
