PROPRIÉTÉ DE LA SPHÈRE DIAGONALE. ÎOI

6, 7, des droites 12 et 34. Construisant donc toutes ces traces et les réunissant deux à deux par les droites S'o", 6' 6", 7' 7"; on a dans celles-ci (rois autres génératrices de l liyperboloïde H dont le centre se trouve dès lors soit au centre du parallélipipède construit sur ces trois dernières génératrices; soit, par un tliéorèmc antérieur ( voir p. y5, n° 88) au point de concours des médianes de deux <fuelconc|iies des quadrilatères gauches 6'6'/7'/7', 5'3"7"7'; et c’est aussi la conclusion où l’analyse nous avait menés déjà.

108. Remarque X. — Nous verrons plus loin que la sphère conjuguée d’un hexaèdre P, P, . . .P6 = o, laquelle est représentée par l’équation

est orthogonale aux dix sphères décrites sur les diagonales de cet hexaèdre comme diamètres, ainsi qu’à la sphère diagonale x* -+-J'* + s* = a* -+- b1 -+- c* de toute surface du

second ordre i-V H — = i inscrite à l’hexaèdre: et que

les sphères

y àps=o, y ).p2=o, y *^=0,...,

LmÀ-1 JmJ-e

conjuguées aux sept hexaèdres déterminés par un système de sept plans, admettent un même cercle radical dont le plan, représenté par l'équation

coïncide avec le lieu des centres de toutes les surfaces inscrites.

Ces propriétés étant admises, revenons aux deux quadrilatères gauches 5'5"6"6', 5'o"7"7' du numéro précé-

dent ( Jig . 21); et soit toujours p le point de concours de leurs médianes respectives mn, m' n' : ou le centre de l’hyperboloïde H. Si nous considérons le cercle radical des

Fig. il.

sphères décrites sur les diagonales o'6", 6'o" comme diamètres, et celui des sphères analogues décrites sur les diagonales 5' 7", 7'5"; le premier ayant pour axe la médiane mn, le second la médiane m' n' \ nous verrons que ces deux cercles appartiennent à une même sphère ayant pour centre le point p, et qui n’est autre que la sphère diagonale de riiyperholoïde. La sphère de centre p , et qui passe parle premier cercle, est effectivement orthogonale à la sphère conjuguée de l’hexaèdre P, ...P6; mais la sphère diagonale de l’hyperboloïde possède la même propriété; elle est d’ailleurs décrite autour du même point p, comme centre, et se confond avec la précédente. On peut donc énoncer ce théorème : « La sphère diagonale d’un hyperboloïde gauche passe par le cercle radical des sphères ayant pour diamètres les diagonales du quadrilatère formé de quatre quelconques des génératrices rectilignes de la surface. » Ces diagonales, d’ailleurs, représentent deux cordes conjuguées par rapport à l’hyperboloïde; et l’on peut rendre à ce théorème toute sa généralité en disant que « la sphère diagonale de toute surface du second ordre assc par le cercle radical des sphères décrites sur deux

détermination d’un cylindre parabolique. io3 cordes conjuguées quelconques de la surface, comme diamètres. » Dans le plan, le théorème analogue consiste en ce que « le cercle diagonal d’une conique, le cercle décrit sur l’une quelconque des cordes de la courbe comme diamètre, et le cercle de rayon nul ayant pour centre le pôle de celte corde, se coupent suivant les deux mêmes points. »

109. Remarque XI. — L’étude précédente du plan des centres X = o, considéré comme satisfaisant à l’identité

jLi

contient aussi la solution de ce problème : construire un cylindre parabolique qui divise harmoniquement les diagonales d’un hexaèdre donné P, . . . P, , et dont les plans diamétraux soient parallèles à un plan donné P,= o.

Si l’on se reporte, en effet, à la figure et à l’analyse du n° 10o, p. 91, on voit que les six points représentés par les équations (3), p. 94, appartiennent au plan X = o mené tangenticllcment au cylindre cherché par la génératrice relative au plan diamétral donné P7 = o. Et chacun de ces points est fourni par l’intersection des médianes des trois quadrilatères gauches interceptés sur deux arêtes opposées quelconques de l’hexaèdre, telles que 12 (ah) et 34 (a1 b'), par deux quelconques des trois plans 5, 6, 7 ou

PSP«P7= « (ftg. 17, p. 90).

§ III. — Théorème de M. J. Mention, et détermination tic la sphère représentée par l’équation

1 10. Du lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à six plans donnés, et dont les carrés des axes principaux conservent une somme constante.

Si l’on applique au problème actuel l’analyse et toutes les notations du n° 70, on sera conduit à éliminer les douze variables a, l>,c , x, (3, y, x',(3',y', a",fiv,y" entre les équations

l" PJ = (A|X -t- B, J' -4- C,z — o,]1

i° Pj = (A,x 4 Bj r 4- C,2 — o, !

= a!( A, a -t- B, p 4-C,y)2 4- b7( A, a’ -t- B,p’ 4- Oif’ :- 4- c* (A5«"4 Bjp"+C,7" 2.

0° Pj = (Acx 4- Br,j-4- C„* — o,)!

= a1 ( Ac a 4- Be p 4 C6y ! 2 4- è2(Afi a 4- Be 4- Cfiy !2 4-c2(A0a"4-Bli?',4-C6y"j4

7° n24 è2 4- c1— X-2 = const. ,

et les six relations existant entre les neuf cosinus *, (3, y, ;

y'\ a"ifr" ■>'/"■ Or l’élimination petit encore s’effectuer indépendamment de celles de ces dernières relations qui résultent de l’orthogonalité des axes principaux de l’ellipsoïde.

Soient, en effet, ?a six coefficients définis pat-

tes conditions suivantes :